Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
dx
p
(x + a)(x + b)
= −2 ln(
√
−x − a +
√
−x − b) + C.
Z
g(x
2
)xdx =
1
2
Z
g(x
2
)d(x
2
)
u = x
2
Z
g(sin x) cos xdx,
Z
g(cos x) sin xdx,
Z
g(tg x)
dx
cos
2
x
u = sin x, u = cos x, u = tg x.
Z
f
0
(x)
f(x)
dx =
Z
d
¡
f(x)
¢
f(x)
u = f(x)
Z
f
0
(x)
f(x)
dx =
Z
du
u
= ln |u| + C = ln |f (x)| + C.
√
a
2
− x
2
x = a sin t, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
,
√
a
2
− x
2
= a cos t;
42

Ïðîäåëàâ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè (ïðåäëàãàåì ýòî ñäåëàòü ÷è-
òàòåëþ), ïîëó÷èì:
     Z
              dx                 √        √
       p                 = −2 ln( −x − a + −x − b) + C.
          (x + a)(x + b)
5.6. Îáùèå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî èñïîëüçîâàíèÿ ìå-
òîäà çàìåíû ïåðåìåííîãî.
  Çàêàí÷èâàÿ ðàññìîòðåíèå ìåòîäà çàìåíû ïåðåìåííîãî, îòìå-
òèì, ÷òî Âàøå óìåíèå îòûñêèâàòü óäîáíóþ ïîäñòàíîâêó (âûáè-
ðàòü óäîáíûé íîâûé àðãóìåíò) çàâèñèò, ïðåæäå âñåãî, îò Âàøå-
ãî îïûòà, ò.å. îò êîëè÷åñòâà ðåøåííûõ ëè÷íî Âàìè ïðèìåðîâ.
Íàäååìñÿ, ÷òî Âû çàìåòèëè ñëåäóþùåå.
    (1) Â èíòåãðàëàõ âèäà
                   Z              Z
                        2       1
                     g(x )xdx =     g(x2 )d(x2 )
                                2
         åñòåñòâåííà çàìåíà u = x2 .
     (2) Â èíòåãðàëàõ âèäà
       Z                    Z                   Z
                                                           dx
          g(sin x) cos xdx,   g(cos x) sin xdx,   g(tg x) 2
                                                         cos x
         óäîáíà çàìåíà (ñîîòâåòñòâåííî):
                   u = sin x, u = cos x, u = tg x.
     (3) Â èíòåãðàëàõ âèäà
                    Z 0            Z ¡      ¢
                       f (x)         d f (x)
                              dx =
                        f (x)         f (x)
         çàìåíà àðãóìåíòà u = f (x) ñðàçó ïðèâîäèò ê îòâåòó:
           Z 0           Z
              f (x)         du
                    dx =       = ln |u| + C = ln |f (x)| + C.
              f (x)          u
                                                              √
     (4) Èíòåãðèðîâàòü âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ðàäèêàë a2 − x2 ,
         ìîæíî ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâîê
                       h π πi               √
       x = a sin t, t ∈ − ;     , ïðè ýòîì a2 − x2 = a cos t;
                           2 2

Страницы