Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

v =
R
dv
R
dv
•
Z
P (x) e
ax
dx,
Z
P (x) sin ax dx,
Z
P (x) cos ax dx,
P (x) u P (x)
dv
e
ax
dx, sin ax dx, cos ax dx;
•
Z
P (x) ln
m
x dx (m ∈ N),
Z
P (x) arcsin x dx,
Z
P (x) arccos x dx,
Z
P (x) arctg x dx
u
ln
m
x, arcsin x, arccos x, arctg x,
dv P (x) dx
R
ln xdx.
¯
¯
¯
¯
u = ln x, du =
dx
x
,
dv = dx, v = x
¯
¯
¯
¯
Z
ln xdx = x ln x −
Z
x ·
dx
x
= x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C.
44

÷àñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, èíòåãðàë îò êîòîðîé èçâå-
ñòåí èëè ìîæåò áûòü íàéäåí. Çàìåòèì, ÷òî äàëåå, ïðè èñïîëü-R
çîâàíèè
    R   ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, â çàïèñè v = dv
ïîä dv ïîíèìàåòñÿ îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ.
  Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èìååò áîëåå
îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ, ÷åì ìåòîä çàìåíû ïåðåìåí-
íîé, íî åñòü öåëûå êëàññû èíòåãðàëîâ, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ
èìåííî ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Íàïðèìåð,
     • äëÿ èíòåãðàëîâ âèäà
      Z              Z                  Z
               ax
        P (x) e dx,    P (x) sin ax dx,   P (x) cos ax dx,

       ãäå P (x)  ìíîãî÷ëåí, çà u ñëåäóåò ïðèíÿòü P (x), à çà
       dv  ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿ
                  eax dx,   sin ax dx,   cos ax dx;
     • äëÿ èíòåãðàëîâ âèäà
        Z                            Z
                  m
          P (x) ln x dx (m ∈ N),       P (x) arcsin x dx,
             Z                     Z
                P (x) arccos x dx,    P (x) arctg x dx
       çà u ïðèíèìàåì ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè
              lnm x,   arcsin x,   arccos x,   arctg x,
      à çà dv  âûðàæåíèå P (x) dx.
  Èíîãäà, ïðèìåíÿÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, óäàåòñÿ
ïîëó÷èòü íåòðèâèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ èñõîäíîãî èíòåãðàëà.

   Ðåøåíèå çàäà÷ íà÷íåì ñ îäíîé èç ñàìûõ ïðîñòûõ.
          R
   1791. ln xdx.¯                      ¯
                   ¯u = ln x, du = dx ,¯
Ñäåëàåì âûáîð: ¯   ¯                 x ¯. Ïîëó÷èì:
                     dv = dx, v = x ¯
 Z                      Z
                             dx
    ln xdx = x ln x − x ·       = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C.
                             x

Страницы