Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= −
1
2
³
x
2
cos 2x − x sin 2x +
Z
sin 2xdx
´
= −
1
2
³
x
2
cos 2x−
−x sin 2x −
1
2
cos 2x
´
+ C =
1
4
(1 − 2x
2
) cos 2x +
1
2
x sin 2x + C.
R
arctg x dx.
Z
arctg x dx =
¯
¯
¯
¯
u = arctg x, du =
dx
1+x
2
,
dv = dx, v = x
¯
¯
¯
¯
= x arctg x−
Z
xdx
1 + x
2
=
= x arctg x −
1
2
ln(1 + x
2
) + C.
R
arcsin x
x
2
dx.
Z
arcsin x
x
2
dx =
¯
¯
¯
¯
u = arcsin x, du =
dx
√
1−x
2
dv =
dx
x
2
, v = −
1
x
¯
¯
¯
¯
= −
arcsin x
x
+
+
Z
dx
x
√
1 − x
2
= −
arcsin x
x
+
Z
xdx
x
2
√
1 − x
2
.
√
1 − x
2
= t, x
2
= 1 − t
2
, xdx = −tdt.
Z
xdx
x
2
√
1 − x
2
= −
Z
tdt
(1 − t
2
) t
= −
Z
dt
1 − t
2
= −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1 + t
1 − t
¯
¯
¯
¯
+C =
= −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1 +
√
1 − x
2
1 −
√
1 − x
2
¯
¯
¯
¯
+C = −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¡
1 +
√
1 − x
2
¢
2
(1 −
√
1 − x
2
)(1 +
√
1 − x
2
)
¯
¯
¯
¯
¯
+
+C = −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
(1 +
√
1 − x
2
)
2
1 − (1 − x
2
)
¯
¯
¯
¯
+C = −
1
2
ln
µ
1 +
√
1 − x
2
x
2
+C =
= −ln
¯
¯
¯
¯
1 +
√
1 − x
2
x
¯
¯
¯
¯
+ C.
Z
arcsin x
x
2
dx = −
arcsin x
x
− ln
¯
¯
¯
¯
1 +
√
1 − x
2
x
¯
¯
¯
¯
+ C.
46
                                       Z
         1³ 2                                       ´       1³ 2
    = − x cos 2x − x sin 2x + sin 2xdx = − x cos 2x−
         2                                                  2
                1          ´         1                       1
  −x sin 2x − cos 2x + C = (1 − 2x2 ) cos 2x + x sin 2x + C.
          R     2                    4                       2
  1802. arctg x dx.
Z                  ¯                            ¯                Z
                   ¯u = arctg x, du = dx 2 ,¯                         xdx
   arctg x dx = ¯  ¯                       1+x  ¯ = x arctg x−              =
                      dv = dx,          v=x     ¯                    1 + x2
                                       1
                      = x arctg x − ln(1 + x2 ) + C.
          R                            2
  1806. arcsin x2
                   x
                     dx.
    Z                    ¯                               ¯
       arcsin x          ¯u = arcsin x, du = √ dx 2 ¯          arcsin x
             2
                  dx = ¯¯         dx
                                                    1−x ¯ = −
                                                     1 ¯                +
           x                 dv = x2 ,       v = −x                x
               Z                                  Z
                       dx            arcsin x             xdx
            +        √          =−             +         √       .
                    x 1−x     2          x            x 1 − x2
                                                       2

 ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé:
               √
                 1 − x2 = t, x2 = 1 − t2 , xdx = −tdt.
Ïîëó÷èì:
Z               Z                     Z                 ¯        ¯
     xdx                tdt                dt        1 ¯¯ 1 + t ¯¯
    √        =−                  =−              = − ln ¯         +C =
  x2 1 − x2          (1 − t2 ) t        1 − t2       2    1 − t¯
       ¯    √        ¯               ¯       ¡     √       ¢2        ¯
   1 ¯¯ 1 + 1 − x2 ¯¯            1 ¯¯          1 + 1 − x2            ¯
                                                                     ¯
= − ln ¯    √        ¯+C = − ln ¯           √             √          ¯+
   2     1− 1−x    2             2 ¯ (1 − 1 − x )(1 + 1 − x ) ¯
                                                   2               2

           ¯    √            ¯                µ     √       ¶2
       1 ¯¯ (1 + 1 − x2 )2 ¯¯           1       1 + 1 − x2
+C = − ln ¯                    + C = − ln                       +C =
       2     1 − (1 − x2 ) ¯            2            x
                          ¯       √       ¯
                          ¯ 1 + 1 − x2 ¯
                  = − ln ¯¯               ¯ + C.
                                          ¯
                                   x
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
      Z                                ¯    √       ¯
         arcsin x        arcsin x      ¯ 1 + 1 − x2 ¯
                  dx = −               ¯
                                  − ln ¯            ¯ + C.
            x2              x                x      ¯

Страницы