Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

+
1
2a
2
·
x
a
2
+ x
2
+ C.
R
√
a
2
− x
2
dx.
x = a sin t, t ∈
£
−
π
2
;
π
2
¤
Z
√
a
2
− x
2
dx =
¯
¯
¯
¯
u =
√
a
2
− x
2
, du = −
xdx
√
a
2
−x
2
dv = dx, v = x
¯
¯
¯
¯
= x
√
a
2
− x
2
+
+
Z
x
2
dx
√
a
2
− x
2
= x
√
a
2
− x
2
−
Z
(−x
2
+ a
2
) − a
2
√
a
2
− x
2
dx =
= x
√
a
2
− x
2
−
Z
(a
2
− x
2
)
√
a
2
− x
2
dx + a
2
Z
dx
√
a
2
− x
2
=
= x
√
a
2
− x
2
−
Z
√
a
2
− x
2
dx + a
2
arcsin
x
a
.
Z
√
a
2
− x
2
dx
| {z }
I
= x
√
a
2
− x
2
−
Z
√
a
2
− x
2
dx
| {z }
I
+a
2
arcsin
x
a
.
I
I =
Z
√
a
2
− x
2
dx =
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C.
C
R
x e
arctg x
(1+x
2
)
3
2
dx.
arctg x = y, x = tg y, dx =
dy
cos
2
y
,
h
y ∈
³
−
π
2
;
π
2
´i
.
48

                              1     x
                         +      ·        + C.
             R√              2a2 a2 + x2
     1818.     a2 − x2 dx.
Çàìåòèì, ÷òî ïðîùå âñåãî, íà íàø âçãëÿä, âû÷èñëèòü äàííûé
èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ£ π π ¤òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ïîäñòàíîâêè 
x = a sin t, t ∈ − 2 ; 2 , íàïðèìåð.
Ïîêàæåì, òåì íå ìåíåå, êàê â äàííîì ñëó÷àå ¾ðàáîòàåò¿ ìåòîä
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Èòàê,
 Z √                  ¯     √                              ¯
                      ¯u = a2 − x2 , du = − √ xdx          ¯     √
     a2 − x2 dx = ¯¯                                a −x ¯ = x a2 − x2 +
                                                      2  2
                                                           ¯
                          dv = dx,             v=x
        Z                    √               Z
               x2 dx                           (−x2 + a2 ) − a2
      + √                        2
                          =x a −x −    2           √               dx =
               a2 − x2                               a2 − x2
             √              Z                       Z
                               (a2 − x2 )         2         dx
        =x a −x − √
                 2      2                   dx + a      √           =
                                  a2 −  x 2               a 2 − x 2
                 √             Z √
                                                               x
            =x a −x −2     2         a2 − x2 dx + a2 arcsin .
                                                               a
Ñîåäèíèâ íà÷àëî è êîíåö ¾öåïî÷êè¿ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì:
     Z √                     √              Z √
                                                                        x
(1)          2     2
           a − x dx = x a − x − 2     2         a2 − x2 dx +a2 arcsin .
                                                                        a
     |       {z       }                     |     {z       }
               I                               I
Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ìû ïîëó÷èëè ëèíåéíîå
óðàâíåíèå íà èñêîìûé èíòåãðàë I . Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó-
÷àåì îòâåò:
            Z √
                              x√ 2        a2      x
(2)     I=       a2 − x2 dx =   a − x2 + arcsin + C.
                              2           2       a
Âîïðîñû ÷èòàòåëþ. Ïî÷åìó â ðàâåíñòâå (2) ïîÿâèëàñü êîíñòàí-
òà C , è ïî÷åìó
          R arctgîíà îòñóòñòâóåò â ðàâåíñòâå (1)?
  1824. x e 2 3 dx.
                 x

              (1+x ) 2
Ââåäåì íîâûé àðãóìåíò:
                                        dy     h     ³ π π ´i
        arctg x = y, x = tg y, dx =          ,   y ∈  − ;     .
                                      cos2 y           2 2

Страницы