Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
b
e
ax
sin bx +
a
b
2
Z
e
ax
|{z}
u
d(cos bx
|{z}
v
) =
1
b
e
ax
sin bx+
+
a
b
2
³
e
ax
cos bx − a
Z
e
ax
cos bxdx
´
=
1
b
e
ax
sin bx+
+
a
b
2
e
ax
cos bx −
a
2
b
2
Z
e
ax
cos bxdx
| {z }
I
1
=
Z
e
ax
cos bxdx
| {z }
I
1
.
I
1
1
b
e
ax
sin bx +
a
b
2
e
ax
cos bx −
a
2
b
2
I
1
= I
1
,
I
1
=
Z
e
ax
cos bxdx =
a cos bx + b sin bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C.
R
e
ax
sin bxdx
I
1
=
Z
e
ax
cos bxdx, I
2
=
Z
e
ax
sin bxdx.
I =
Z
e
(a+ib)x
dx =
Z
e
ax
e
ibx
dx =
Z
e
ax
(cos bx + i sin bx)dx =
=
Z
e
ax
cos bxdx + i
Z
e
ax
sin bxdx = I
1
+ i I
2
i i
2
= −1
I
1
= Re I I I
2
= Im I
50
                                  Z
              1             a                            1 ax
             = eax sin bx + 2           eax d(cos
                                       |{z}   | {zbx}) = b e sin bx+
              b            b
                                         u         v
                                   Z
               a³       ax                    1        ´
          +                    e cos bxdx = eax sin bx+
                    e cos bx − a         ax
               b2                             b
                            Z               Z
          a              a2
         + 2 eax cos bx − 2   eax cos bxdx = eax cos bxdx .
          b              b
                            |     {z     } |     {z     }
                                             I1                I1

Ïîëó÷èëè ëèíåéíîå óðàâíåíèå íà I1 :
            1 ax         a              a2
              e sin bx + 2 eax cos bx − 2 I1 = I1 ,
            b            b               b
ðåøèâ êîòîðîå, èìååì:
            Z
                             a cos bx + b sin bx ax
        I1 = eax cos bxdx =                     e + C.
                                   a2 + b2
     Çàäà÷àR
     1829.eax sin bxdx
ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñïðàâèòüñÿ ñ íåé ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ìû æå ïðèâåäåì åùå îäèí ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ çàäà÷
1828 è 1829, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
                 Z                  Z
           I1 = e cos bxdx, I2 = eax sin bxdx.
                     ax



Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé èíòåãðàë
     Z              Z          Z
        (a+ib)x
 I= e           dx = e e dx = eax (cos bx + i sin bx)dx =
                      ax ibx


                    Z                    Z
                         ax
               =        e cos bxdx + i        eax sin bxdx = I1 + i I2

(íàïîìíèì, ÷òî i  ìíèìàÿ åäèíèöà, i2 = −1).
Òàêèì îáðàçîì: I1 = Re I (âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü I ), I2 = Im I

Страницы