Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
Z
x e
arctg x
(1 + x
2
)
3
2
dx =
Z
tg y e
y
(1 + tg
2
y)
3
2
·
dy
cos
2
y
=
Z
tg y cos
3
y e
y
dy
cos
2
y
=
=
Z
e
y
sin ydy.
Z
e
y
sin ydy =
¯
¯
¯
¯
u = e
y
, du = e
y
dy
dv = sin ydy, v = −cos y
¯
¯
¯
¯
= −e
y
cos y+
+
Z
e
y
cos ydy =
¯
¯
¯
¯
u = e
y
, du = e
y
dy
dv = cos ydy, v = sin y
¯
¯
¯
¯
= −e
y
cos y+
+e
y
sin y −
Z
e
y
sin ydy.
Z
e
y
sin ydy = e
y
(sin y −cos y) −
Z
e
y
sin ydy,
Z
e
y
sin ydy =
e
y
2
(sin y −cos y) + C =
e
y
2
(tg y − 1) cos y + C =
=
e
y
2
(tg y − 1)
1
p
1 + tg
2
y
+ C =
e
arctg x
2
(x − 1)
1
√
1 + x
2
+ C.
R
e
ax
cos bxdx.
Z
e
ax
cos bxdx =
1
b
Z
e
ax
|{z}
u
d(sin bx
|{z}
v
) =
1
b
³
e
ax
sin bx−
−
Z
sin bxd(e
ax
)
´
=
1
b
e
ax
sin bx −
a
b
Z
e
ax
sin bxdx =
                                                                    49

Çàìåòèì, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ íà èçìåíåíèå y ñëåäóþò èç îïðåäå-
ëåíèÿ àðêòàíãåíñà. Ïîëó÷àåì:
 Z                   Z                        Z
    x earctg x            tg y ey      dy       tg y cos3 y ey dy
              3 dx =               3 ·      =                     =
   (1 + x2 ) 2         (1 + tg2 y) 2 cos2 y           cos2 y
                              Z
                           = ey sin ydy.
Èíòåãðèðóÿ äâàæäû ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì óðàâíåíèå íà ïîñëåä-
íèé èíòåãðàë:
    Z               ¯                          ¯
                    ¯ u = ey ,      du = ey
                                            dy ¯
       e sin ydy = ¯¯
        y                                      ¯ = −ey cos y+
                     dv = sin ydy, v = − cos y ¯
     Z                ¯                          ¯
                      ¯ u = ey ,     du =  ey
                                              dy ¯
   + e cos ydy = ¯¯
          y                                      ¯ = −ey cos y+
                       dv = cos ydy, v = sin y ¯
                                 Z
                      +e sin y − ey sin ydy.
                         y


Çàìûêàåì ¾öåïî÷êó¿ ðàâåíñòâ:
        Z                                Z
          e sin ydy = e (sin y − cos y) − ey sin ydy,
           y           y


è ïîëó÷àåì, ÷òî
  Z
                ey                    ey
    ey sin ydy = (sin y − cos y) + C = (tg y − 1) cos y + C =
                2                     2
     ey                  1              earctg x             1
   =    (tg y − 1) p             +C =            (x − 1) √        + C.
     2               1 + tg2 y              2              1 + x2
         R
  1828. eax cos bxdx.
Ýòîò èíòåãðàë òàêæå ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ äâóêðàòíîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.
       Z                     Z
            ax             1       ax               1 ³ ax
           e cos bxdx =          e    d(sin  bx) =     e sin bx−
                           b |{z} | {z }            b
                                   u       v
          Z               ´ 1                    Z
                      ax          ax           a
      − sin bxd(e ) = e sin bx −                    eax sin bxdx =
                               b               b

Страницы