Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I
I
Z
e
(a+ib)x
dx =
1
a + ib
e
(a+ib)x
+ C =
a − ib
(a + ib)(a − ib)
e
(a+ib)x
+ C =
=
a − ib
a
2
+ b
2
e
(a+ib)x
+ C =
a − ib
a
2
+ b
2
e
ax
(cos bx + i sin bx) + C =
=
e
ax
a
2
+ b
2
(a − ib)(cos bx + i sin bx) + C = I.
I
I
1
I
2
Re I =
a cos bx + b sin bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C = I
1
=
Z
e
ax
cos bxdx,
Im I =
a sin bx − b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C = I
2
=
Z
e
ax
sin bxdx.
Z
e
ax
cos bxdx =
a cos bx + b sin bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C,
Z
e
ax
sin bxdx =
a sin bx − b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C.
I
n
=
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n
(n = 1, 2, 3, . . . ).
I
n
=
Z
1
(x
2
+ a
2
)
n
| {z }
u
dx
|{z}
dv
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
−
Z
xd
µ
1
(x
2
+ a
2
)
n
=
                                                                               51

(ìíèìàÿ ÷àñòü I ).
Âû÷èñëèì I .
 Z
                   1                        a − ib
   e(a+ib)x dx =        e(a+ib)x + C =                  e(a+ib)x + C =
                 a + ib                (a + ib)(a − ib)
        a − ib (a+ib)x           a − ib ax
    =    2    2
                e        +C = 2          e (cos bx + i sin bx) + C =
       a +b                      a + b2
                   eax
            = 2          (a − ib)(cos bx + i sin bx) + C = I.
                a + b2
Âûäåëÿåì âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòü I è ïðèðàâíèâàåì ê
I1 è I2 ñîîòâåòñòâåííî:
                                                     Z
              a cos bx + b sin bx ax
      Re I =                       e + C = I1 = eax cos bxdx,
                     a 2 + b2
                                                     Z
               a sin bx − b cos bx ax
      Im I =                        e + C = I2 = eax sin bxdx.
                     a 2 + b2
   Â äàëüíåéøåì Âàì íå îäèí ðàç ïðèäåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè
ðåçóëüòàòàìè. Âûäåëèì èõ:
            Z
                                  a cos bx + b sin bx ax
                 eax cos bxdx =                      e + C,
                                        a2 + b2
             Z
                                 a sin bx − b cos bx ax
                 eax sin bxdx =                      e + C.
                                        a2 + b2

  È, çàêàí÷èâàÿ ðàáîòàòü ñ ìåòîäîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì,
ïîëó÷èì ñ åãî ïîìîùüþ ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ èíòåãðàëà
                Z
                      dx
           In =                 (n = 1, 2, 3, . . . ).
                  (x + a2 )n
                    2

Èòàê,
         Z                                   Z        µ                ¶
                 1              x                             1
  In =         2   2  n
                         dx = 2
                        |{z}            −        xd                        =
             (x + a )        (x + a2 )n                   (x + a2 )n
                                                            2
             | {z } dv
                 u

Страницы