Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(1)
Z
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx; (2)
Z
Ax + B
√
ax
2
+ bx + c
dx;
(3)
Z
(Ax + B)
√
ax
2
+ bx + c dx;
(4)
Z
dx
(x − γ)
m
√
ax
2
+ bx + c
(m = 1, 2).
ax
2
+ bx + c
ax
2
+ bx + c = a(x + p)
2
+ q;
x + p = z
Z
dx
(x − γ)
m
√
ax
2
+ bx + c
1
x−γ
= z
x −γ = t;
1
t
= z
R
x+1
x
2
+x+1
dx.
x
2
+ x + 1 = x
2
+ 2 · x ·
1
2
+
³
1
2
´
2
+
3
4
=
³
x +
1
2
´
2
+
³
√
3
2
´
2
.
u = x +
1
2
Z
x + 1
x
2
+ x + 1
dx =
Z
¡
x +
1
2
¢
+
1
2
³
x +
1
2
´
2
+
³
√
3
2
´
2
dx =
Z
u +
1
2
u
2
+
³
√
3
2
´
2
du =
                                                                    53

5.8. Ïðîñòåéøèå èíòåãðàëû, ñîäåðæàùèå êâàäðàòíûé òðåõ-
÷ëåí.
  Ê íèì îòíîñÿò èíòåãðàëû âèäà
           Z                        Z
                 Ax + B                     Ax + B
       (1)        2
                            dx; (2)    √               dx;
               ax + bx + c                ax2 + bx + c
                     Z          √
                (3) (Ax + B) ax2 + bx + c dx;
                Z
                             dx
           (4)              √              (m = 1, 2).
                    (x − γ)m ax2 + bx + c

  Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðâûõ òðåõ èíòåãðàëîâ íóæíî âûäåëèòü èç
êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c ïîëíûé êâàäðàò:
                   ax2 + bx + c = a(x + p)2 + q;
ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííîãî: x + p = z è âîñïîëüçîâàòüñÿ òàá-
ëè÷íûìè èíòåãðàëàìè XVXXII.
Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà
                  Z
                              dx
                            √
                    (x − γ)m ax2 + bx + c
                                          1
ïðåäâàðèòåëüíî äåëàåòñÿ çàìåíà x−γ            = z (åå ìîæíî îñóùå-
                                  1
ñòâèòü â äâà ýòàïà: x − γ = t; t = z ) è òîëüêî çàòåì âûäåëÿåòñÿ
ïîëíûé êâàäðàò.
  Ïðîäåìîíñòðèðóåì
         R             ýòî íà ïðèìåðàõ.
  1840. x2x+1+x+1
                  dx.
Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò â çíàìåíàòåëå:
                            1    ³ 1 ´2 3 ³          1 ´ 2 ³ √3 ´ 2
  x2 + x + 1 = x2 + 2 · x · +           + = x+            +         .
                            2       2       4        2          2
Ââåäÿ íîâîå ïåðåìåííîå u = x + 12 , ïîëó÷èì:
Z                  Z      ¡       ¢                Z
      x+1                   x + 12 + 12                  u + 21
              dx =    ³        ´2 ³ √ ´2      dx =         ³ √ ´2 du =
   x2 + x + 1                           3
                             1
                        x+ 2 + 2                     u + 23
                                                       2

Страницы