Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
Z
udu
u
2
+
³
√
3
2
´
2
+
1
2
Z
du
u
2
+
³
√
3
2
´
2
=
=
1
2
ln
µ
u
2
+
3
4
+
1
2
·
2
√
3
arctg
u
√
3
2
+ C =
=
1
2
ln
Ã
³
x +
1
2
´
2
+
³
√
3
2
´
2
!
+
1
√
3
arctg
2
³
x +
1
2
´
√
3
+ C =
=
1
2
ln(x
2
+ x + 1) +
1
√
3
arctg
2x + 1
√
3
+ C.
R
x
5
dx
x
6
−x
3
−2
.
Z
x
5
dx
x
6
− x
3
− 2
=
Z
x
3
· x
2
dx
(x
3
)
2
− x
3
− 2
=
h
u = x
3
i
=
1
3
Z
udu
u
2
− u − 2
=
1
3
Z
udu
¡
u −
1
2
¢
2
−
9
4
=
1
3
Z
¡
u −
1
2
¢
+
1
2
¡
u −
1
2
¢
2
−
9
4
du =
h
u −
1
2
= z
i
=
=
1
3
Z
zdz
z
2
−
9
4
+
1
6
Z
dz
z
2
−
9
4
=
1
6
ln
¯
¯
¯
z
2
−
9
4
¯
¯
¯
+
1
12
·
2
3
ln
¯
¯
¯
¯
z −
3
2
z +
3
2
¯
¯
¯
¯
+
+C =
1
18
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
³
z −
3
2
´
3
³
z +
3
2
´
3
³
z −
3
2
´
³
z +
3
2
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
18
ln
¯
¯
¯
¯
³
z −
3
2
´
4
³
z +
3
2
´
2
¯
¯
¯
¯
+ C =
1
9
ln
¯
¯
¯
¯
³
z −
3
2
´
2
³
z +
3
2
´
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
9
ln
¯
¯
(x
3
− 2)
2
(x
3
+ 1)
¯
¯
+ C.
R
udu
u
2
−u−2
u
u
2
−u−2
54
     Z                        Z
             udu       1  du
 =            ³ √ ´2 +    ³ √ ´2 = (èñïîëüçóåì òàáëè÷íûå
                       2
         u2 + 23      u2 + 23
                          µ        ¶
                       1     2   3    1 2           u
èíòåãðàëû XVI, XVII) = ln u +        + · √ arctg √ + C =
                       2         4    2    3         3
                                                    2
         Ã                 !             ³       ´
          ³           √                 2 x + 21
      1        1 ´2 ³ 3 ´2      1
   = ln     x+     +         + √ arctg     √       +C =
      2        2       2          3          3
                  1                              1           2x + 1
               =    ln(x2 + x + 1) + √ arctg √                        + C.
                  2                               3              3
          R
  1843. x6x−xdx3 −2 .
                5


Èìååì:
Z                     Z                                h         i 1Z
       x5 dx                    x3 · x2 dx                     3               udu
    6      3
                    =          3  2        3
                                                   = u=x =                   2
   x −x −2                 (x ) − x − 2                               3    u −u−2
       Z                               Z ¡            ¢             h              i
     1           udu                1         u − 12 + 12                  1
  =        ¡        ¢2         =            ¡        ¢2       du  =   u −     =  z   =
     3       u − 12 − 94            3        u − 12 − 94                   2
     Z                   Z                                                  ¯        ¯
   1       zdz        1          dz           1 ¯¯ 2 9 ¯¯          1 2 ¯¯ z − 23 ¯¯
 =                 +                      = ln¯z − ¯ +                · ln             +
   3     z 2 − 94     6       z 2 − 94        6             4     12 3 ¯ z + 32 ¯
                            ¯³            ´3 ³         ´3 ³       ´¯
                            ¯                                    3 ¯¯
                     1 ¯ z−2¯           3
                                               z+2   3
                                                            z−2 ¯
          +C =          ln ¯                 ³         ´            ¯+C =
                    18 ¯                       z +   3              ¯
                            ¯                        2              ¯
        ¯³                            ¯                  ¯                      ¯
   1 ¯¯          3 ´4 ³        3 ´2 ¯¯             1 ¯¯³         3 ´2 ³     3 ´¯¯
=    ln z −             z+              + C = ln ¯ z −                  z+        +C =
  18 ¯           2             2 ¯                 9             2          2 ¯
                   1 ¯¯ 3               ¯
                    ln (x − 2)2 (x3 + 1)¯ + C.
                       =
                   9 R
Çàìå÷àíèå. Èíòåãðàë u2udu−u−2
                              ìîæíî âû÷èñëèòü è ïî-äðóãîìó
                        u
 ðàñêëàäûâàÿ äðîáü u2 −u−2 íà ïðîñòåéøèå. Ïîäðîáíî îá ýòîì
ìåòîäå áóäåò ðàññêàçàíî â ðàçäåëå, ïîñâÿùåííîì èíòåãðèðîâà-
íèþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé.

Страницы