Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n
Z
x
xdx
(x
2
+ a
2
)
n+1
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+
+2n
Z
(x
2
+ a
2
) − a
2
(x
2
+ a
2
)
n+1
dx =
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n
| {z }
I
n
−
−2na
2
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n+1
| {z }
I
n+1
.
I
n
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n I
n
− 2na
2
I
n+1
,
I
n+1
=
1
2na
2
·
x
(x
2
+ a
2
)
n
+
2n − 1
2na
2
I
n
.
I
n
I
n+1
I
1
I
1
=
Z
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
arctg
x
a
+ C.
I
n
n > 1
I
2
= I
1+1
= [n = 1] =
1
2a
2
·
x
x
2
+ a
2
+
1
2a
2
I
1
.
I
2
=
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
2
=
1
2a
2
·
x
x
2
+ a
2
+
1
2a
3
arctg
x
a
+ C.
I
3
= I
2+1
= [n = 2] =
1
4a
2
·
x
(x
2
+ a
2
)
2
+
3
4a
2
I
2
= . . . .
52
                             Z
                x                   xdx             x
        = 2       2  n
                       + 2n x 2        2  n+1
                                              = 2          +
           (x + a )             (x + a )        (x + a2 )n
         Z                                       Z
            (x2 + a2 ) − a2          x                  dx
     +2n       2     2 n+1
                            dx = 2      2 n
                                            + 2n               −
             (x + a )            (x + a )          (x + a2 )n
                                                      2
                                                 |     {z    }
                                                             In
                                 Z
                                            dx
                        −2na2                        .
                                     (x2   + a2 )n+1
                                 |         {z      }
                                       In+1

Ïîëó÷èëè, ÷òî
                             x
                In =                 + 2n In − 2na2 In+1 ,
                       (x2   + a2 )n
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                         1       x       2n − 1
               In+1 =      2
                             · 2   2 n
                                       +        In .
                        2na (x + a )      2na2
Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå, ïîçâîëÿþùåå ïî èçâåñòíîìó In íàéòè
In+1 , íàçûâàåòñÿ ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèåì èëè ðåêóððåíò-
íîé ôîðìóëîé.
Èíòåãðàë I1 âû÷èñëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî:
                      Z
                           dx    1     x
                 I1 =    2    2
                                = arctg + C.
                        x +a     a     a
Çíà÷åíèÿ In äëÿ n > 1 íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ïîìîùüþ
ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû, íàïðèìåð:
                                       1       x     1
            I2 = I1+1 = [n = 1] =        2
                                           · 2   2
                                                   + 2 I1 .
                                      2a x + a      2a
Òàêèì îáðàçîì,
          Z
                 dx       1    x     1      x
     I2 =      2    2 2
                        = 2· 2   2
                                   + 3 arctg + C.
            (x + a )     2a x + a   2a      a
                                  1       x       3
       I3 = I2+1 = [n = 2] =        2
                                      · 2   2 2
                                                + 2 I2 = . . . .
                                 4a (x + a )     4a

Страницы