Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dx
3 sin
2
x−8 sin x cos x+5 cos
2
x
.
tg x = u
Z
dx
3 sin
2
x − 8 sin x cos x + 5 cos
2
x
=
Z
1
3 tg
2
x − 8 tg x + 5
·
dx
cos
2
x
=
h
tg x = u
i
=
Z
1
3u
2
− 8u + 5
du.
3u
2
−8u + 5 = 3
³
u
2
−
8
3
u +
5
3
´
= 3
³
u
2
−2 ·u ·
4
3
+
16
9
−
16
9
| {z }
0
+
5
3
´
=
= 3
µ
³
u −
4
3
´
2
−
16
9
+
15
9
= 3
µ
³
u −
4
3
´
2
−
³
1
3
´
2
.
Z
1
3u
2
− 8u + 5
du =
1
3
Z
du
³
u −
4
3
´
2
−
³
1
3
´
2
=
1
3
·
3
2
ln
¯
¯
¯
¯
u −
4
3
−
1
3
u −
4
3
+
1
3
¯
¯
¯
¯
+C =
=
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
u −
5
3
u − 1
¯
¯
¯
¯
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
tg x −
5
3
tg x − 1
¯
¯
¯
¯
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
3 sin x − 5 cos x
sin x − cos x
¯
¯
¯
¯
+
˜
C,
(
˜
C = C −
1
2
ln 3).
R
dx
√
1−2x−x
2
.
1 − 2x − x
2
= 2 − (1 + 2x + x
2
) = 2 − (x + 1)
2
.
Z
dx
√
1 − 2x − x
2
=
Z
dx
p
2 − (x + 1)
2
= arcsin
x + 1
√
2
+ C,
                                                                            55
          R
  1844.                     dx
              3 sin2 x−8 sin x cos x+5 cos2 x
                                              .
Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí â çíàìåíàòåëå ïîëó÷èì, ïåðåéäÿ ê íîâî-
ìó àðãóìåíòó tg x = u. Äåéñòâèòåëüíî:
Z                                       Z
                  dx                                1            dx
        2                             =        2
                                                              ·
   3 sin x − 8 sin x cos x + 5 cos2 x      3 tg x − 8 tg x + 5 cos2 x
                    h         i Z          1
                 = tg x = u =                      du.
                                      3u2 − 8u + 5
Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò:
                 ³       8    5´      ³           4 16 16 5 ´
3u2 − 8u + 5 = 3 u2 − u +         = 3 u2 − 2 · u · +     −    +     =
                         3    3                   3 |9 {z 9} 3
                                                                   0
           µ³                                ¶       µ³               ¶
                       4 ´2  16 15                        4 ´2 ³ 1 ´2
      =3        u−            −  +                =3   u−     −         .
                    3         9     9                     3      3
Ïðîäîëæàåì èíòåãðèðîâàòü:
Z                           Z                                ¯             ¯
         1                1             du            1 3 ¯¯ u − 43 − 13 ¯¯
                  du =          ³       ´2 ³ ´2 = · ln ¯           4     1 ¯+C =
  3u2 − 8u + 5            3           4        1      3 2      u −   +
                                  u− 3 − 3                         3     3

      ¯        ¯              ¯           ¯         ¯                    ¯
  1 ¯¯ u − 53 ¯¯          1 ¯¯ tg x − 53 ¯¯      1 ¯¯ 3 sin x − 5 cos x ¯¯
= ln ¯           +C = ln ¯                  +C = ln ¯                     +C̃,
  2     u − 1¯            2     tg x − 1 ¯       2      sin x − cos x ¯
                                            1
                             (C̃ = C − ln 3).
         R                                  2
  1847. √1−2x−x  dx
                      2 .
Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè:
           1 − 2x − x2 = 2 − (1 + 2x + x2 ) = 2 − (x + 1)2 .
Ïîëó÷àåì:
   Z                  Z
           dx                dx                x+1
      √             =   p              = arcsin √ + C,
        1 − 2x − x2       2 − (x + 1)2           2
(ïðè âû÷èñëåíèè áûë èñïîëüçîâàí òàáëè÷íûé èíòåãðàë XIX).

  ñëåäóþùåé çàäà÷å ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî áîëåå îá-
ùåãî ðåçóëüòàòà.

Страницы