Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
√
−a
r
b
2
− 4ac
4
−
³
ax +
b
2
´
2
.
b
2
− 4ac > 0
Z
dx
√
y
=
Z
dx
√
ax
2
+ bx + c
=
Z
√
−adx
r
b
2
−4ac
4
−
³
ax +
b
2
´
2
=
=
√
−a
a
arcsin
ax +
b
2
q
b
2
−4ac
4
+ C =
h
a = −(−a) = −
p
(−a)
2
i
=
= −
1
√
−a
arcsin
ax +
b
2
q
b
2
−4ac
4
+ C = −
1
√
−a
arcsin
2ax + b
√
b
2
− 4ac
+ C =
=
1
√
−a
arcsin
−y
0
√
b
2
− 4ac
+ C .
R
dx
√
ax
2
+bx+c
a
R
x+1
√
x
2
+x+1
dx.
                                                              57
                        r
                    1     b2 − 4ac ³        b ´2
                =  √               − ax +        .
                     −a       4             2
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ñèòóàöèÿ âîçìîæíà ëèøü ïðè óñëîâèè
b2 − 4ac > 0. Èíòåãðèðóåì:
     Z        Z                   Z        √
        dx            dx                      −adx
        √ =     √               =   r           ³      ´2 =
          y       ax2 + bx + c         2
                                      b −4ac
                                         4
                                             − ax + 2b

(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë XIX)
      √                          h                   i
        −a        ax + 2b                      p
   =       arcsin q         + C = a = −(−a) = − (−a)2 =
       a            b2 −4ac
                      4


     1          ax + 2b           1           2ax + b
 = −√    arcsin q         + C = −√    arcsin √          +C =
      −a          b2 −4ac          −a          b2 − 4ac
                     4

      1              −y 0
  =√     arcsin √           + C (÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü).
      −a          b2 − 4ac
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî   R äîêàçàííîìó ðåçóëüòàòó, ïðè âû÷èñ-
                               dx
ëåíèè èíòåãðàëîâ âèäà √ax2 +bx+c ìîæíî ïîëó÷èòü, â çàâèñè-
ìîñòè îò çíàêà a, ëèáî àðêñèíóñ, ëèáî ëîãàðèôì ñ ñîîòâåòñòâó-
þùèìè àðãóìåíòàìè è ìíîæèòåëÿìè.
Çàìå÷àíèå. Ïðè ðàáîòå ñ êîíêðåòíûì èíòåãðàëîì óêàçàííîãî
âèäà ìû âñå æå íå ðåêîìåíäóåì ñðàçó ïîëüçîâàòüñÿ äîêàçàííîé
â çàäà÷å ôîðìóëîé, à ñîâåòóåì êàæäûé ðàç ïîëíîñòüþ äåëàòü
ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè (âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà, çà-
ìåíà ïåðåìåííîãî, ñâåäåíèå ê òàáëè÷íîìó èíòåãðàëó). Òîëüêî
òàê Âû ñìîæåòå ïðèîáðåñòè è çàêðåïèòü óìåíèå èíòåãðèðîâàòü
âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí. À îáùóþ ôîð-
ìóëó ìîæíî, â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè, èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåð-
êè ðåçóëüòàòà.
        R
  1852. √xx+12 +x+1 dx.

Êàê è ðàíüøå, ïåðâûé øàã  âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà â

Страницы