Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u −
1
2
= z
1
2
Z
1 + u
√
1 + u − u
2
du =
1
2
Z
³
u −
1
2
´
+
3
2
r
5
4
−
³
u −
1
2
´
2
d
³
u −
1
2
´
=
=
1
2
Z
z +
3
2
q
5
4
− z
2
dz =
1
2
Z
zdz
q
5
4
− z
2
dz +
3
4
Z
dz
r
³
√
5
2
´
2
− z
2
=
= −
1
2
r
5
4
− z
2
+
3
4
arcsin
z
√
5
2
+ C =
= −
1
2
√
1 + x
2
− x
4
+
3
4
arcsin
2x
2
− 1
√
5
+ C.
R
dx
x
√
x
2
+x+1
.
1
x
= z
Z
dx
x
√
x
2
+ x + 1
=
Z
dx
x
q
x
2
(1 +
1
x
+
1
x
2
)
=
Z
dx
x|x|
q
1 +
1
x
+
¡
1
x
¢
2
=
1
sgn x
Z
dx
x
2
q
1 +
1
x
+
¡
1
x
¢
2
= −
1
sgn x
Z
d
¡
1
x
¢
q
1 +
1
x
+
¡
1
x
¢
2
=
=
·
1
x
= z
¸
= −
1
sgn z
Z
dz
√
1 + z + z
2
| {z }
= −
1
sgn z
Z
dz
r
³
z +
1
2
´
2
+
3
4
=
= −
1
sgn z
ln
¯
¯
¯
¯
¯
z +
1
2
+
r
³
z +
1
2
´
2
+
3
4
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
                                                                                       59

                                            1
ââîäèì íîâîå ïåðåìåííîå: u −                2
                                                = z.
Ïðîäîëæàåì èíòåãðèðîâàòü:
                                                 ³       ´
         Z                              Z          u − 12 + 23 ³
     1              1+u           1                                   1´
             √               du =               r     ³      ´2 d u −    =
     2            1 + u − u2      2               5
                                                                      2
                                                  4
                                                    − u − 12
         Z                         Z                        Z
    1         z + 32       1              zdz        3                dz
  =          q        dz =             q        dz +            r³                 =
    2          5           2             5           4               √ ´2
               4
                 − z2                     4
                                           − z2                       5
                                                                            − z2
                                                                     2

(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûå èíòåãðàëû XX è XIX)
                  r
                 1 5         3       z
              =−      − z 2 + arcsin √ + C =
                 2 4         4        5
                                                        2

                      1√                        3       2x2 − 1
                 =−        1 + x2 − x4 +          arcsin √      + C.
                      2                         4           5
             R
  1856.           √ dx
                 x x2 +x+1
                           .
Ýòî èíòåãðàë âèäà (4), êîòîðûé, êàê èçâåñòíî, ñâîäèòñÿ ê îäíî-
ìó èç èíòåãðàëîâ âèäà (1)(3) ïðåäâàðèòåëüíîé çàìåíîé ïåðå-
ìåííîãî x1 = z . Äåéñòâèòåëüíî:
Z                    Z                          Z
        dx                        dx                        dx
    √              =       q                  =         q            ¡ ¢2
   x x2 + x + 1          x x2 (1 + x1 + x12 )       x|x| 1 + x1 + x1
            Z                                 Z         ¡ ¢
        1               dx
                        x2               1            d x1
    =           q           ¡ 1 ¢2 = − sgn x     q          ¡ 1 ¢2 =
      sgn x             1                               1
                   1+ x + x                         1+ x + x
  ·      ¸             Z                            Z
    1              1             dz             1              dz
=     =z =−                √            =−             r³         ´2      =
    x            sgn z       1 + z + z2       sgn z
                       |       {z     }                    z+1 +3            2         4
                               èíòåãðàë âèäà (2)
                            ¯      r³           ¯
                      1     ¯   1        1 ´2 3 ¯
                            ¯                   ¯
                 =−      ln ¯z + +    z+     + ¯+C =
                    sgn z ¯     2        2    4¯

Страницы