Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dx
(x+1)
√
x
2
+1
.
x + 1 = t, x = t − 1, dx = dt
Z
dx
(x + 1)
√
x
2
+ 1
=
Z
dt
t
p
(t − 1)
2
+ 1
=
Z
dt
t
√
t
2
− 2t + 2
=
=
Z
dt
t|t|
q
1 −
2
t
+
2
t
2
= −
1
sgn t
Z
d
¡
1
t
¢
q
1 −
2
t
+
2
t
2
=
"
1
t
= z
#
=
= −
1
sgn z
Z
dz
√
1 − 2z + 2z
2
= −
1
sgn z
·
1
√
2
Z
dz
q
z
2
− z +
1
2
=
= −
1
√
2 sgn z
Z
dz
r
³
z −
1
2
´
2
+
1
4
=
= −
1
√
2 sgn z
ln
¯
¯
¯
¯
¯
z −
1
2
+
r
³
z −
1
2
´
2
+
1
4
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
= −
1
√
2 sgn z
ln
¯
¯
¯
¯
¯
2z − 1 +
p
2(2z
2
− 2z + 1)
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
= −
1
√
2 sgn t
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
t
− 1 +
r
2
³
2
t
2
−
2
t
+ 1
´
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
= −
1
√
2 sgn t
ln
¯
¯
¯
¯
¯
2 − t + sgn t
p
2(2 − 2t + t
2
)
2t
¯
¯
¯
¯
¯
+ C = I.
t > 0
I = −
1
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
2 − t +
p
2(2 − 2t + t
2
)
2t
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
                                                                                          61
          R
  1858.           dx
                   √
              (x+1) x2 +1
                          .
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîãî: x + 1 = t, x = t − 1, dx = dt.
Ïîëó÷èì:
  Z                  Z                   Z
           dx                dt                 dt
            √      =    p             =     √            =
    (x + 1) x2 + 1     t (t − 1)2 + 1      t t2 − 2t + 2
    Z                         Z       ¡ ¢      "       #
              dt          1         d 1t         1
  =        q         =−         q            =     =z =
       t|t| 1 − +2 2    sgn t      1− +2   2     t
                       t      t2                          t       t2
               Z                                              Z
       1                   dz             1     1                        dz
  =−               √                 =−       ·√                   q                  =
     sgn z             1 − 2z + 2z 2    sgn z    2                     z2 − z +   1
                                                                                  2
                                   Z
                          1                  dz
                   = −√                r³            ´2            =
                        2 sgn z                  1            1
                                            z−   2
                                                          +   4
                          ¯        r³               ¯
                1         ¯    1            1 ´2 1 ¯¯
                          ¯
       = −√            ln ¯z − +       z−       + ¯+C =
              2 sgn z ¯        2            2    4¯
                        ¯         p                    ¯
                        ¯                 2            ¯
              1         ¯ 2z − 1 + 2(2z − 2z + 1) ¯
      = −√           ln ¯                              ¯+C =
            2 sgn z ¯                 2                ¯
                          ¯       r ³            ´ ¯¯
                          ¯2
                          ¯ − 1 + 2 22 − 2 + 1 ¯
                1         ¯t            t     t     ¯
       = −√           ln ¯¯                         ¯+C =
                                                    ¯
              2 sgn t ¯               2             ¯
                          ¯                         ¯
                     ¯                               ¯
            1        ¯ 2 − t + sgn tp2(2 − 2t + t2 ) ¯
                     ¯                               ¯
     = −√         ln ¯                               ¯ + C = I.
          2 sgn t    ¯              2t               ¯
Ïðè t > 0 ïîëó÷àåì:
                         ¯                          ¯
                     1   ¯ 2 − t + p2(2 − 2t + t2 ) ¯
                         ¯                          ¯
              I = − √ ln ¯                          ¯+C =
                      2  ¯           2t             ¯

Страницы