Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= −
1
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
1 − x +
p
2(x
2
+ 1)
x + 1
¯
¯
¯
¯
¯
+
˜
C (
˜
C = C +
1
√
2
ln 2).
t < 0
Z
dx
(x + 1)
√
x
2
+ 1
= −
1
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
1 − x +
p
2(x
2
+ 1)
x + 1
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
R
dx
(x+2)
2
√
x
2
+2x−5
.
m = 2
x + 2 = t, x = t − 2, dx = dt
Z
dx
(x + 2)
2
√
x
2
+ 2x − 5
=
Z
dt
t
2
p
(t − 2)
2
+ 2(t − 2) − 5
=
=
Z
dt
t
2
√
t
2
− 2t − 5
.
1
t
= z
Z
dt
t
2
√
t
2
− 2t − 5
=
Z
dt
t
2
|t|
q
1 −
2
t
−
5
t
2
=
1
sgn t
Z
1
t
·
dt
t
2
q
1 −
2
t
−
5
t
2
=
= −
1
sgn t
Z
1
t
d
³
1
t
´
q
1 −
2
t
−
5
t
2
= −
1
sgn z
Z
zdz
√
1 − 2z −5z
2
.
1 −2z −5z
2
= 1 −5
³
z
2
+
2
5
z
´
= 1 −5
³
z
2
+ 2 ·z ·
1
5
+
1
5
2
−
1
5
2
´
=
= 1 − 5
³
z +
1
5
´
2
+
1
5
=
6
5
− 5
³
z +
1
5
´
2
.
62
              ¯                    ¯
          1   ¯ 1 − x + p2(x2 + 1) ¯                               1
              ¯                    ¯
     = − √ ln ¯                    ¯ + C̃               (C̃ = C + √ ln 2).
           2 ¯         x+1         ¯                                2
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé t < 0
è óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî è ïðè ýòîì óñëîâèè ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ
òåì æå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:
                                       ¯                    ¯
     Z
               dx              1       ¯ 1 − x + p2(x2 + 1) ¯
                                       ¯                    ¯
                √        = − √ ln ¯                         ¯ + C.
                   2
         (x + 1) x + 1           2     ¯        x + 1       ¯
          R
  1860. (x+2)2 √dxx2 +2x−5 .
Ýòî èíòåãðàë ÷åòâåðòîãî òèïà, ñîîòâåòñòâóþùèé ñëó÷àþ m = 2.
Øàã ïåðâûé  çàìåíà x + 2 = t, x = t − 2, dx = dt. Ïîëó÷àåì:
   Z                              Z
                dx                                 dt
               √              =          p                        =
       (x + 2)2 x2 + 2x − 5           t2 (t − 2)2 + 2(t − 2) − 5
                            Z
                                      dt
                        =        √              .
                               2    2
                              t t − 2t − 5
Øàã âòîðîé  çàìåíà 1t = z :
Z                Z                                              Z        1       dt
         dt                  dt                           1              t
                                                                             ·   t2
     √         =         q                            =             q                      =
   2   2
  t t − 2t − 5     t2 |t| 1 −            2
                                             −   5      sgn t           1 − 2t −      5
                                         t       t2                                   t2

                             ³ ´
                  Z     1
                            d 1t                       Z
            1           t                    1                    zdz
       =−             q                 =−                 √                 .
          sgn t        1 − 2t −    5       sgn z               1 − 2z − 5z 2
                                   t2

Øàã òðåòèé  âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà â ïîäêîðåííîì âû-
ðàæåíèè:
                     ³     2 ´       ³             1    1 1´
1 − 2z − 5z 2 = 1 − 5 z 2 + z = 1 − 5 z 2 + 2 · z · + 2 − 2 =
                           5                       5 5    5
                     ³     1 ´2 1   6     ³      1 ´2
              =1−5 z+          + = −5 z+              .
                           5    5   5            5

Страницы