Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
5
√
x
2
+ 2x − 5
x + 2
+
1
5
√
5
arcsin
x + 7
√
6 |x + 2|
+ C.
R
√
2 + x + x
2
dx.
2 + x + x
2
=
³
x +
1
2
´
2
+
7
4
x +
1
2
= z
Z
√
2 + x + x
2
dx =
Z
r
³
x +
1
2
´
2
+
7
4
d
³
x +
1
2
´
=
=
Z
r
z
2
+
7
4
dz
| {z }
=
z
2
r
z
2
+
7
4
+
7
8
ln
¯
¯
¯
¯
¯
z +
r
z
2
+
7
4
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
x +
1
2
2
√
2 + x + x
2
+
7
8
ln
¯
¯
¯
¯
x +
1
2
+
√
2 + x + x
2
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
2x + 1
4
√
2 + x + x
2
+
7
8
ln
¯
¯
¯
¯
x +
1
2
+
√
2 + x + x
2
¯
¯
¯
¯
+ C.
R
1−x+x
2
x
√
1+x−x
2
dx.
Z
1 − x + x
2
x
√
1 + x − x
2
dx =
Z
dx
x
√
1 + x − x
2
−
Z
1 − x
√
1 + x − x
2
dx,
Z
1 − x + x
2
x
√
1 + x − x
2
dx = −
√
1 + x − x
2
+
1
2
arcsin
1 − 2x
√
5
−
−ln
¯
¯
¯
¯
2 + x + 2
√
1 + x − x
2
x
¯
¯
¯
¯
+ C.
64
              √
           1 x2 + 2x − 5          1             x+7
         =                  + √ arcsin √                 + C.
           5      x+2           5 5            6 |x + 2|
        R√
  1862.      2 + x + x2 dx.
Âûäåëÿåì ïîëíûé êâàäðàò â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè:
                                   ³     1 ´2 7
                   2 + x + x2 = x +            +
                                         2       4
                                      1
è äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîãî: x + 2 = z . Èìååì:
       Z √                  Z r³
                                         1 ´2 7 ³         1´
           2 + x + x2 dx =           x+        + d x+         =
                                         2       4        2
     Z r                   r                 ¯     r        ¯
                7        z          7   7    ¯            7 ¯
                                             ¯              ¯
   =      z 2 + dz =         z 2 + + ln ¯z + z 2 + ¯ + C =
                4        2          4 8 ¯                 4¯
     |     {z      }
     òàáë. èíòåãðàë XXII
                                     ¯                     ¯
       x + 21 √                 7 ¯¯      1 √              ¯
     =          2 + x + x + ln ¯x + + 2 + x + x ¯¯ + C =
                            2                            2
         2                      8         2
                                       ¯                      ¯
       2x + 1 √                   7 ¯¯      1 √               ¯
     =            2 + x + x + ln ¯x + + 2 + x + x ¯¯ + C.
                              2                             2
          4                       8         2
        R 1−x+x2
  1864. x√1+x−x2 dx.
Ðàçáèâàÿ èíòåãðàë íà äâà ñëàãàåìûõ:
   Z                          Z                  Z
       1 − x + x2                      dx               1−x
       √             dx =         √           − √                 dx,
      x 1 + x − x2              x 1 + x − x2          1 + x − x2
ïîëó÷àåì èíòåãðàëû âèäà (4) è (2) ñîîòâåòñòâåííî, âû÷èñëåíèå
êîòîðûõ ïîäðîáíî ðàññìîòðåíî âûøå. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñà-
ìîñòîÿòåëüíî ïðîäîëæèòü èíòåãðèðîâàíèå è ïîëó÷èòü ñëåäóþ-
ùèé ðåçóëüòàò:
     Z                           √
         1 − x + x2                             1        1 − 2x
         √               dx = − 1 + x − x2 + arcsin √ −
        x 1 + x − x2                            2               5
                        ¯           √          ¯
                        ¯ 2 + x + 2 1 + x − x2 ¯
                  − ln ¯¯                      ¯ + C.
                                               ¯
                                    x

Страницы