Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 1 =
³
x +
1
2
´
2
+
3
4
.
x +
1
2
= z
Z
x + 1
√
x
2
+ x + 1
dx =
Z
³
x +
1
2
´
+
1
2
r
³
x +
1
2
´
2
+
3
4
d
³
x +
1
2
´
=
=
Z
z +
1
2
q
z
2
+
3
4
dz =
Z
zdz
q
z
2
+
3
4
+
1
2
Z
dz
q
z
2
+
3
4
=
=
r
z
2
+
3
4
+
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
z +
r
z
2
+
3
4
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
√
x
2
+ x + 1+
+
1
2
ln
¯
¯
¯
x +
1
2
+
√
x
2
+ x + 1
¯
¯
¯
+ C.
R
x+x
3
√
1+x
2
−x
4
dx.
x
2
= u
Z
x + x
3
√
1 + x
2
− x
4
dx =
Z
1 + x
2
p
1 + x
2
− (x
2
)
2
xdx =
=
1
2
Z
1 + x
2
p
1 + x
2
− (x
2
)
2
d(x
2
) =
1
2
Z
1 + u
√
1 + u − u
2
du.
1+u−u
2
= −(u
2
−u)+1 = −(u
2
−2·u·
1
2
+
1
4
−
1
4
)+1 = −
³
u−
1
2
´
2
+
5
4
;
58

x2 + x + 1 :
                                  ³   1 ´2 3
                            2
                           x +x+1= x+     + .
                                      2    4
Ñëåäóþùèé øàã  çàìåíà ïåðåìåííîãî: x + 21 = z .                            Ïîëó÷àåì:
                             ³      ´
      Z                   Z   x + 2 + 21 ³
                                  1
           x+1                                                              1´
        √            dx =   r³       ´2   d x+                                 =
          x2 + x + 1               1    3
                                                                            2
                               x+ 2 + 4

                 Z                    Z                     Z
                      z + 12               zdz          1            dz
         =           q         dz =       q           +          q              =
                        2
                       z +4  3
                                           z2 +   3     2          z2   +   3
                                                  4                         4

(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûå èíòåãðàëû XX è XVIII)
       r             ¯   r        ¯
              3 1 ¯  ¯         3 ¯¯    √
     = z + + ln ¯z + z + ¯ + C = x2 + x + 1+
          2                 2
              4 2 ¯            4¯

                         1 ¯¯   1 √          ¯
                                             ¯
                        + ln¯x + + x2 + x + 1¯ + C.
                         2      2
             R
     1855.
                       3
                 √ x+x    dx.
                  1+x −x4
                     2

Î÷åâèäíî, ÷òî ê èíòåãðàëó, ñîäåðæàùåìó êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí,
íàñ ïðèâåäåò çàìåíà ïåðåìåííîãî x2 = u:
        Z                     Z
               x + x3                1 + x2
           √             dx =   p                 xdx =
             1 + x2 − x4          1 + x2 − (x2 )2
                 Z                                    Z
          1               1 + x2            2  1                  1+u
        =            p                 d(x ) =              √              du.
          2            1 + x2 − (x2 )2         2                1 + u − u2
Âûäåëÿåì ïîëíûé êâàäðàò â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè:
                                1 1 1       ³ 1 ´2 5
1+u−u2 = −(u2 −u)+1 = −(u2 −2·u· + − )+1 = − u−    + ;
                                2 4 4            2  4

Страницы