Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = ax
2
+ bx + c (a 6= 0)
Z
dx
√
y
=
(
1
√
a
ln
³
y
0
2
+
√
ay
´
+ C a > 0,
1
√
−a
arcsin
−y
0
√
b
2
−4ac
+ C a < 0.
a > 0
√
ax
2
+ bx + c =
=
r
1
a
(a
2
x
2
+ abx + ac) =
1
√
a
s
µ
ax +
b
2
2
+
4ac − b
2
4
.
Z
dx
√
y
=
Z
dx
√
ax
2
+ bx + c
=
Z
√
adx
q
¡
ax +
b
2
¢
2
+
4ac−b
2
4
=
=
√
a
a
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ax +
b
2
+
s
µ
ax +
b
2
2
+
4ac − b
2
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
√
a
ln
¯
¯
¯
¯
2ax + b
2
+
√
a
2
x
2
+ abx + ac
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
√
a
ln
¯
¯
¯
¯
y
0
2
+
√
ay
¯
¯
¯
¯
+ C .
a < 0
√
ax
2
+ bx + c =
r
1
−a
(−a
2
x
2
− abx − ac) =
=
1
√
−a
s
−
µ
³
ax +
b
2
´
2
+
4ac − b
2
4
=
56

     1850. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè y = ax2 + bx + c (a 6= 0), òî
           Z         (        ³ 0  √    ´
               dx        √1 ln y +    ay + C ïðè a > 0,
                           a   2
               √ =                      0
                y        √1 arcsin √ −y     + C ïðè a < 0.
                           −a       b2 −4ac

     Äîêàçàòåëüñòâî.

 1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a > 0. Ïðåîáðàçóåì ðàäèêàë:
                      √
                        ax2 + bx + c =
      r                          sµ         ¶2
        1 2 2                 1           b       4ac − b2
    =     (a x + abx + ac) = √       ax +       +          .
        a                      a          2           4
Èíòåãðèðóåì:
    Z        Z                  Z         √
       dx            dx                      adx
       √ =     √             =     q¡         ¢2          =
        y          2
                 ax + bx + c                            2
                                      ax + 2b + 4ac−b4

(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë XVIII)
               ¯       sµ                       ¯
         √     ¯                 ¶2             ¯
           a ¯¯     b          b      4ac − b2 ¯¯
      =     ln ¯ax + +    ax +      +           ¯+C =
          a    ¯    2          2         4      ¯
                    ¯                           ¯
               1    ¯ 2ax + b √                 ¯
            = √ ln ¯¯        + a2 x2 + abx + ac¯¯ + C =
                a        2
              ¯ 0         ¯
          1   ¯y     √ ¯¯
              ¯
       = √ ln ¯ + ay ¯ + C (÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü).
           a    2

     2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a < 0. Ïðåîáðàçóåì ðàäèêàë:
                             r
             √                   1
                 2
               ax + bx + c =       (−a2 x2 − abx − ac) =
                                −a
                      s µ                         ¶
                   1        ³      b ´2 4ac − b2
               =√       −     ax +     +            =
                   −a              2         4

Страницы