Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
¡
ln x
x
¢
2
dx.
u dv
Z
µ
ln x
x
2
dx =
Z
ln
2
x
x
2
dx =
¯
¯
¯
¯
u = ln
2
x, du = 2 ln x
dx
x
,
dv =
dx
x
2
, v =
R
dx
x
2
= −
1
x
¯
¯
¯
¯
=
= −
ln
2
x
x
+ 2
Z
ln x
dx
x
2
=
¯
¯
¯
¯
u = ln x, du =
dx
x
,
dv =
dx
x
2
, v =
R
dx
x
2
= −
1
x
¯
¯
¯
¯
=
= −
ln
2
x
x
+ 2
µ
−
ln x
x
+
Z
dx
x
2
= −
ln
2
x
x
− 2
ln x
x
− 2 ·
1
x
+ C =
= −
1
x
¡
ln
2
x + 2 ln x + 2
¢
+ C.
R
x
3
e
−x
2
dx
t = x
2
Z
x
3
e
−x
2
dx =
Z
x
2
e
−x
2
xdx =
1
2
Z
t e
−t
dt =
=
¯
¯
¯
¯
u = t, du = dt,
dv = e
−t
dt, v =
R
e
−t
dt = −e
−t
¯
¯
¯
¯
=
1
2
µ
−t e
−t
+
Z
e
−t
dt
=
=
1
2
¡
−t e
−t
− e
−t
¢
+ C = −
1
2
(t + 1) e
−t
+ C = −
1
2
(x
2
+ 1) e
−x
2
+ C.
R
x
2
sin 2xdx.
v
Z
x
2
sin 2xdx =
Z
x
2
d
µ
−
cos 2x
2
= −
1
2
Z
x
2
|{z}
u
d(cos 2x
|{z}
v
) =
= −
1
2
³
x
2
cos 2x −
Z
cos 2x
|{z}
v
d( x
2
|{z}
u
)
´
= −
1
2
³
x
2
cos 2x−
−2
Z
x cos 2xdx
´
= −
1
2
³
x
2
cos 2x −
Z
xd(sin 2x)
´
=
                                                                                     45
            R ¡ ln x ¢2
   1793.           x
                        dx.
Âîçâåäÿ â êâàäðàò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè, ¾ðàçáèâàåì¿
ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå íà u è dv :
   Z µ          ¶2          Z                   ¯                                   ¯
          ln x                  ln2 x           ¯u = ln2 x, du = 2 ln x dx , ¯
                     dx =             dx = ¯¯                        R          x ¯ =
            x                     x2              dv = dxx2
                                                            , v = dx    x2
                                                                             = − x1 ¯
                           Z                 ¯                                   ¯
              ln2 x                 dx ¯¯u = ln x,              du  =  dx
                                                                           ,
                                                                  R dx x 1 ¯ =
                                                                                 ¯
       =−             + 2 ln x 2 = ¯
                 x                  x          dv = x2 , v = x2 = − x ¯
                                                      dx

(äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî òàêæå ïðèìåíÿåì ìåòîä
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì)
                     µ              Z       ¶
        ln2 x             ln x         dx             ln2 x      ln x         1
 =−            +2 −             +        2
                                                =−           −2        −2· +C =
          x                x           x                x          x          x
                                1¡                         ¢
                         = − ln2 x + 2 ln x + 2 + C.
            R 3 −x2             x
  1797. x e dx.
Ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì íîâûé àðãóìåíò t = x2 :
               Z                    Z                         Z
                     3 −x2               2 −x2              1
                   x e dx = x e xdx =                            t e−t dt =
                                                            2
    ¯                                               ¯        µ            Z            ¶
    ¯ u = t,                    du   =  dt,         ¯ 1
 = ¯¯                         R                     ¯=              −t
                                                               −t e + e dt =    −t
      dv = e−t dt, v = e−t dt = −e−t ¯ 2
  1¡                    ¢              1                           1                 2
=      −t e−t − e−t + C = − (t + 1) e−t + C = − (x2 + 1) e−x + C.
  2         R 2                        2                           2
  1799. x sin 2xdx.
Ïðè ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è ïðîäåìîíñòðèðóåì èñïîëüçîâàíèå
ïðèåìà çàíåñåíèÿ v ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà. Èìååì:
   Z                       Z         µ             ¶           Z
         2                       2        cos 2x             1
        x sin 2xdx = x d −                             =−           x2 d(cos 2x) =
                                               2             2 |{z} | {z }
                                                                    u          v
                                   Z
               1³ 2                                       ´       1 ³
        = − x cos 2x − cos            |  {z         x2 ) = − x2 cos 2x−
                                            2x} d(|{z}
               2                                                  2
                                          v         u
             Z                 ´           ³                 Z                ´
                                         1
         −2 x cos 2xdx = − x2 cos 2x − xd(sin 2x) =
                                         2

Страницы