Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = a cos t, t ∈ [o; π] ,
√
a
2
− x
2
= a sin t.
√
x
2
− a
2
x = a ch t, t ∈ [0; +∞) x > a;
x = −a ch t, t ∈ [0; +∞) x < −a.
√
x
2
− a
2
= a sh t
√
x
2
+ a
2
x = a sh t
√
x
2
+ a
2
= a ch t
x = a tg t, t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
,
√
x
2
+ a
2
=
a
cos t
.
u v
x
Z
udv = uv −
Z
vdu.
R
udv
R
vdu
u dv u
dv
                                                         43

      èëè
                                              √
     x = a cos t,   t ∈ [o; π] ,   ïðè ýòîì
                                      a2 − x2 = a sin t.
                                              √
   (5) Åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñîäåðæèò x2 − a2 , óäîá-
       íî èñïîëüçîâàòü ïîäñòàíîâêè
               x = a ch t,    t ∈ [0; +∞) äëÿ x > a;
             x = −a ch t, t ∈ [0; +∞) äëÿ x < −a.
                   √
       Ïðè ýòîì x2 − a2 = a sh t.                 √
   (6) Åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñîäåðæèò x2 + a2 , óäîá-
       íî èñïîëüçîâàíèå
                   √      ïîäñòàíîâêè x = a sh t.
       Ïðè ýòîì x + a = a ch t.
                      2   2

        ýòîì æå ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü
                       ³ π π´          √             a
       x = a tg t, t ∈ − ;     , òîãäà x2 + a2 =          .
                         2 2                        cos t
   êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî
âûÿâèòü åùå íåñêîëüêî õàðàêòåðíûõ ñèòóàöèé (ò.å. êîíêðåòè-
çèðîâàòü âèä ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ è óêàçàòü óäîáíóþ
äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ çàìåíó ïåðåìåííîãî).
5.7. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.
  Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ñëåäóþùåãî ìåòîäà  ìåòîäà èí-
òåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.
  Íàïîìíèì ñóòü ìåòîäà: åñëè u è v  íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìûå ôóíêöèè îò x, òî
                    Z            Z
                       udv = uv − vdu.
                                                        R
Òàêèì îáðàçîì, ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì Ríàõîæäåíèå udv
ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ äðóãîãî èíòåãðàëà  vdu. Î÷åâèäíî,
÷òî èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ìåòîäà óäîáíî òîãäà, êîãäà ïîñëåä-
íèé èíòåãðàë ïðîùå (èëè íå ñëîæíåå) èñõîäíîãî.
  Ïåðâûé, è îïðåäåëÿþùèé, øàã ïðè ïðèìåíåíèè äàííîãî ìå-
òîäà  âûáîð u è dv . Êàê ïðàâèëî, çà u âûáèðàåòñÿ ôóíêöèÿ,
êîòîðàÿ ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ¾óïðîùàåòñÿ¿, à çà dv  òà

Страницы