Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = 2a sin
2
t t ∈ [0;
π
2
)
dx = 4a sin t cos tdt,
x
2a − x
=
2a sin
2
t
2a(1 − sin
2
t)
=
µ
sin t
cos t
2
.
sin t ≥ 0 cos t > 0
Z
x
r
x
2a − x
dx =
Z
2a sin
2
t
sin t
cos t
4a sin t cos tdt = 8a
2
Z
sin
4
tdt =
= a
2
(3t−2 sin 2t+
1
4
sin 4t)+C = a
2
(3t−2 sin 2t+
1
2
sin 2t cos 2t)+C =
= 3a
2
t +
a
2
2
sin 2t(cos 2t − 4) + C = I.
x
x = 2a sin
2
t, t ∈ [0;
π
2
) ⇒ sin t =
r
x
2a
; t = arcsin
r
x
2a
.
x = 2a ·
1 − cos 2t
2
= a(1 − cos 2t) ⇒ cos 2t =
a − x
a
;
sin 2t =
s
1 −
µ
a − x
a
2
=
p
x(2a − x)
a
.
I = 3a
2
arcsin
r
x
2a
−
x + 3a
2
p
x(2a − x) + C.
x = a sh t x = a ch t
36

Ïîëîæèì x = 2a sin2 t, t ∈ [0; π2 ). Òîãäà
                                                               µ           ¶2
                                  x        2a sin2 t               sin t
     dx = 4a sin t cos tdt,            =                =                       .
                                2a − x   2a(1 − sin2 t)            cos t
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè sin t ≥ 0; cos t > 0,
ïîëó÷èì:
Z r             Z                                      Z
       x               2 sin t                       2
  x         dx = 2a sin t       4a sin t cos tdt = 8a    sin4 tdt =
     2a − x               cos t
(âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1749)
                  1                            1
= a2 (3t−2 sin 2t+ sin 4t)+C = a2 (3t−2 sin 2t+ sin 2t cos 2t)+C =
                  4                            2
                              a2
                = 3a2 t +        sin 2t(cos 2t − 4) + C = I.
                              2
Âåðíåìñÿ ê x:
                                            r                        r
                2         π                     x                          x
     x = 2a sin t, t ∈ [0; ) ⇒ sin t =             ;   t = arcsin             .
                          2                     2a                         2a
                  1 − cos 2t                            a−x
        x = 2a ·             = a(1 − cos 2t) ⇒ cos 2t =     ;
                       2                                  a
                         s    µ      ¶2 p
                                a−x           x(2a − x)
               sin 2t = 1 −              =              .
                                  a              a
Òàêèì îáðàçîì:
                              r
                    2             x    x + 3a p
            I = 3a arcsin            −         x(2a − x) + C.
                                  2a     2

5.5. Èñïîëüçîâàíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ ïîäñòàíîâîê ïðè èí-
òåãðèðîâàíèè.
  Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ 17861790 ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå
ãèïåðáîëè÷åñêèõ ïîäñòàíîâîê x = a sh t, x = a ch t (ïàðàìåòðû
ïîëîæèòåëüíû) è ò.ï.

Страницы