Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
x
3
3
√
1 + x
2
dx =
1
2
Z
(u − 1) u
1
3
du =
1
2
Z
u
4
3
du −
1
2
Z
u
1
3
du =
=
3
14
u
7
3
−
3
8
u
4
3
+ C =
3
14
(x
2
+ 1)
7
3
−
3
8
(x
2
+ 1)
4
3
+ C.
R
dx
(x
2
−2)(x
2
+3)
.
1 =
1
5
((x
2
+ 3) − (x
2
− 2)).
Z
dx
(x
2
− 2)(x
2
+ 3)
=
1
5
Z
(x
2
+ 3) − (x
2
− 2)
(x
2
− 2)(x
2
+ 3)
dx =
=
1
5
µ
Z
dx
x
2
− 2
−
Z
dx
x
2
+ 3
=
1
10
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x −
√
2
x +
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
−
−
1
5
√
3
arctg
x
√
3
+ C.
R
x dx
x
4
+3x
2
+2
.
u = x
2
Z
x dx
x
4
+ 3x
2
+ 2
=
1
2
Z
d(x
2
)
(x
2
)
2
+ 3x
2
+ 2
=
1
2
Z
du
u
2
+ 3u + 2
=
=
1
2
Z
du
(u + 1)(u + 2)
=
1
2
Z
(u + 2) − (u + 1)
(u + 1)(u + 2)
du =
1
2
Z
du
u + 1
−
−
1
2
Z
du
u + 2
=
1
2
(ln |u + 1| − ln |u + 2|) + C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
u − 1
u + 2
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
2
ln
x
2
+ 1
x
2
+ 2
+ C.
R
cos
2
x dx.
Z
cos
2
x dx =
1
2
Z
(1 + cos 2x) dx =
1
2
Z
dx +
1
2
Z
cos 2x dx =
=
x
2
+
sin 2x
4
+ C.
26

Ïîëó÷èì:
 Z      √                       Z                          Z                Z
       3 3         2
                             1                  1        1      4         1      1
     x 1 + x dx =                 (u − 1) u 3 du =            u 3 du −         u 3 du =
                             2                           2                2
              3 7 3 4                      3             7    3            4
        =       u 3 − u 3 + C = (x2 + 1) 3 − (x2 + 1) 3 + C.
             14
             R          8                 14                  8
  1736. (x2 −2)(x2 +3) .
                     dx

Ðàñïèøåì åäèíèöó â ÷èñëèòåëå: 1 = 15 ((x2 + 3) − (x2 − 2)). Ïî-
ëó÷èì:
          Z                                   Z
                        dx                 1      (x2 + 3) − (x2 − 2)
                                       =                                   dx =
               (x2 − 2)(x2 + 3)            5       (x2 − 2)(x2 + 3)
                µZ                  Z             ¶                ¯      √ ¯¯
              1          dx                dx              1       ¯
                                                                   ¯x − 2¯
         =                       −                   = √ ln ¯             √ ¯−
              5         2
                      x −2                2
                                        x +3            10 2 ¯ x + 2 ¯
                                     1             x
                                − √ arctg √ + C.
             R x dx                5 3               3
  1738. x4 +3x        2 +2 .
Ïåðåéäåì ê íîâîìó àðãóìåíòó u = x2 :
   Z                             Z                              Z
              x dx             1             d(x2 )           1            du
         4       2
                          =             2  2        2
                                                           =          2
                                                                                     =
       x + 3x + 2              2     (x ) + 3x + 2            2      u + 3u + 2
      Z                                Z                                     Z
    1              du               1       (u + 2) − (u + 1)             1       du
 =                               =                                du =                 −
    2      (u + 1)(u + 2)           2         (u + 1)(u + 2)              2     u+1
     Z                                                                  ¯       ¯
  1         du       1                                            1 ¯¯ u − 1 ¯¯
−                = (ln |u + 1| − ln |u + 2|) + C = ln ¯                           +C =
  2      u+2         2                                            2       u + 2¯
                                     1 x2 + 1
                                  = ln 2              + C.
             R                       2 x +2
  1742. cos2 x dx.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè äëÿ êîñèíóñà, ïîëó÷èì:
  Z                       Z                              Z            Z
           2           1                               1            1
      cos x dx =             (1 + cos 2x) dx =               dx +         cos 2x dx =
                       2                               2            2
                                      x sin 2x
                                  = +                 + C.
                                      2         4

Страницы