Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= 1 −
1
2
sin
2
2x =
1
2
+
1
2
cos
2
2x =
1 + cos
2
2x
2
.
Z
sin x cos xdx
sin
4
x + cos
4
x
= −
1
4
Z
d(cos 2x)
1
2
(1 + cos
2
2x)
=
= −
1
2
Z
d(cos 2x)
1 + (cos 2x)
2
= −
1
2
arctg(cos 2x) + C.
R
xdx
q
1+x
2
+
√
(1+x
2
)
3
.
(x
2
+ 1)
Z
xdx
q
1 + x
2
+
p
(1 + x
2
)
3
=
1
2
Z
d(x
2
+ 1)
q
1 + x
2
+ (1 + x
2
)
3
2
=
£
x
2
+ 1 = u, u > 0
¤
=
1
2
Z
du
p
u + u
3
2
=
=
1
2
Z
du
√
u
p
1 +
√
u
=
Z
d(
√
u)
p
1 +
√
u
=
£
√
u = z
¤
=
= 2
√
1 + z + C = 2
q
1 +
√
u + C = 2
q
1 +
√
1 + x
2
+ C.
R
1+x
1−x
dx.
1 + x = 2 + x − 1 = 2 − (1 − x)
Z
1 + x
1 − x
dx =
Z
2 − (1 − x)
1 − x
dx =
Z
2
1 − x
dx −
Z
dx =
= −2 ln |1 − x| − x + C.
24

                   1 2       1 1          1 + cos2 2x
          =1−        sin 2x = + cos2 2x =             .
                   2         2 2               2
Òàêèì îáðàçîì:
         Z                         Z
             sin x cos xdx       1        d(cos 2x)
               4            =  −       1               =
            sin x + cos4 x       4     2
                                         (1 + cos2 2x)
              Z
            1       d(cos 2x)        1
        =−                    2
                                = − arctg(cos 2x) + C.
            2     1 + (cos 2x)       2
       R
  1720. q      xdx
                √        .
               1+x2 +   (1+x2 )3
           2
Çàíåñåì (x + 1) ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà:
    Z                            Z
                xdx            1         d(x2 + 1)
       q          p          =     q                      =
                               2                        3
         1 + x2 + (1 + x2 )3               2
                                     1 + x + (1 + x ) 2 2

                                       Z
        £ 2                       ¤ 1          du
         x + 1 = u, ïðè÷åì u > 0 =        p          =
                                     2             3
                                              u + u2
           Z                 Z     √
         1         du            d( u)       £√      ¤
       =      √ p     √ =      p     √ =        u=z =
         2      u 1+ u            1+ u
                      q                q
       √                     √                 √
    = 2 1 + z + C = 2 1 + u + C = 2 1 + 1 + x2 + C.
5.3. Ñîâìåñòíîå èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ ââåäåíèÿ íîâîãî
àðãóìåíòà è ðàçëîæåíèÿ.
  Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ 17211765 ïðåäïîëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå
ìåòîäîâ ââåäåíèÿ íîâîãî àðãóìåíòà è ðàçëîæåíèÿ.
        R
  1722. 1+x
          1−x
              dx.
Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ âûäåëèì öåëóþ ÷àñòü
äðîáè, ñòîÿùåé â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Ïðåîáðàçóåì
÷èñëèòåëü: 1 + x = 2 + x − 1 = 2 − (1 − x). Òàêèì îáðàçîì,
ïîëó÷èì:
     Z            Z                    Z         Z
        1+x          2 − (1 − x)           2
             dx =                dx =        dx − dx =
        1−x             1−x              1−x
                    = −2 ln |1 − x| − x + C.

Страницы