Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
a
2
− b
2
Z
d(
√
u) =
√
u
a
2
− b
2
+ C =
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
a
2
− b
2
+ C,
a
2
6= b
2
.
a
2
= b
2
p
a
2
sin
2
x + a
2
cos
2
x =
q
a
2
(sin
2
x + cos
2
x) =
√
a
2
= |a|.
a
2
= b
2
Z
sin x cos x
√
a
2
sin
2
x + a
2
cos
2
x
dx =
1
|a|
Z
sin x cos xdx =
=
1
|a|
Z
sin xd(sin x) =
1
2|a|
sin
2
x + C.
sin x cos xdx =
1
2
sin 2xdx = −
1
4
d(cos 2x).
sin
2
x =
1
2
(1 − cos 2x) cos
2
x =
1
2
(1 + cos 2x)
Z
sin x cos x
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
dx = −
1
4
Z
d(cos 2x)
q
a
2
2
(1 − cos 2x) +
b
2
2
(1 + cos 2x)
= −
√
2
4
Z
d(cos 2x)
p
(a
2
+ b
2
) + (b
2
− a
2
) cos 2x
=
= −
√
2
2
1
b
2
− a
2
p
(a
2
+ b
2
) + (b
2
− a
2
) cos 2x + C =
=
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
a
2
− b
2
+ C.
20
           Z              √              √
     1           √           u               a2 sin2 x + b2 cos2 x
 = 2           d( u) =           +C =                              + C,
  a − b2                 a2 − b2                   a2 − b2
                           åñëè a2 6= b2 .
Çàìå÷àíèå. Ïðè a2 = b2 çíàìåíàòåëü â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðà-
æåíèè îáðàùàåòñÿ â êîíñòàíòó:
   p                        q                      √
     a2 sin2 x + a2 cos2 x = a2 (sin2 x + cos2 x) = a2 = |a|.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè a2 = b2 èìååì:
        Z                                  Z
                sin x cos x             1
          √                       dx =        sin x cos xdx =
            a2 sin2 x + a2 cos2 x      |a|
                    Z
                 1                      1
             =         sin xd(sin x) =      sin2 x + C.
                |a|                    2|a|
Èñõîäíûé èíòåãðàë ìîæíî áûëî áû âû÷èñëèòü, âûáðàâ â êà÷å-
ñòâå íîâîãî àðãóìåíòà ñèíóñ äâîéíîãî óãëà:
                              1             1
            sin x cos xdx =     sin 2xdx = − d(cos 2x).
                              2             4
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin2 x = 12 (1 − cos 2x), à cos2 x = 21 (1 + cos 2x),
ïîëó÷èì:
Z                               Z
       sin x cos x            1                 d(cos 2x)
  √                   dx = −       q
     2   2       2 2
    a sin x + b cos x         4      a 2                 2
                                         (1 − cos 2x) + b (1 + cos 2x)
                                         2                   2
               √ Z
                 2           d(cos 2x)
            =−     p                                =
                4    (a2 + b2 ) + (b2 − a2 ) cos 2x
(ïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1654)
           √
             2 1 p 2
       =−               (a + b2 ) + (b2 − a2 ) cos 2x + C =
            2 b2 − a2
                    √
                      a2 sin2 x + b2 cos2 x
                 =                          + C.
                            a 2 − b2

Страницы