Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
xdx
√
1−x
2
.
1 − x
2
Z
xdx
√
1 − x
2
=
1
2
Z
d(x
2
)
√
1 − x
2
= −
1
2
Z
(1 − x
2
)
−
1
2
d(1 − x
2
) =
= −
1
2
(1 − x
2
)
1
2
1
2
+ C = −
√
1 − x
2
+ C.
R
x
3
dx
x
8
−2
.
x
4
Z
x
3
dx
x
8
− 2
=
1
4
Z
d(x
4
)
(x
4
)
2
− 2
=
£
x
4
= u
¤
=
1
4
Z
du
u
2
− 2
=
=
1
8
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
u −
√
2
u +
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
1
8
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x
4
−
√
2
x
4
+
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
                                                              17

Ïðè ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è ìû óáåäèëèñü â ñëåäóþùåì: èñ-
ïîëüçóÿ â ïðîöåññå èíòåãðèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûå ñïîñîáû, ìîæ-
íî ïîëó÷èòü íå ñîâïàäàþùèå ïî ôîðìå îòâåòû (è êàæäûé èç
íèõ  ïðàâèëüíûé). Ïîýòîìó, åñëè Âû óâåðåíû â ïðàâèëüíîñòè
ñâîåãî ðåøåíèÿ, íî Âàø îòâåò íå ñîâïàäàåò ñ îòâåòîì, ïðèâå-
äåííîì â çàäà÷íèêå,  íå îò÷àèâàéòåñü. Ñïðàâåäëèâîñòü ñâîåãî
ðåçóëüòàòà ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðî-
äèôôåðåíöèðîâàòü ïîëó÷åííóþ Âàìè ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé.
Åñëè ïðîèçâîäíàÿ ñîâïàäàåò ñ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, çíà-
÷èò Âàø îòâåò ÿâëÿåòñÿ âåðíûì.



  Çàäà÷è 1674  1720 ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ââåäåíèÿ
íîâîãî àðãóìåíòà (â áîëüøèíñòâå èç íèõ èñïîëüçóåòñÿ ïðèåì
çàíåñåíèÿ
        R íîâîãî àðãóìåíòà ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà).
  1674. √xdx1−x2
                 .
Çàíåñåì íîâûé àðãóìåíò 1 − x2 ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà:
   Z                 Z               Z
        xdx        1    d(x2 )     1              1
      √        =       √        =−     (1 − x2 )− 2 d(1 − x2 ) =
        1 − x2     2     1 − x2    2

                                 1
                     1 (1 − x2 ) 2        √
                  =−       1       + C = − 1 − x2 + C.
                     2     2
          R
  1679.       x3 dx
              x8 −2
                    .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðîëü íîâîãî àðãóìåíòà èãðàåò x4 . Èìååì:
    Z             Z                           Z
        x3 dx   1     d(x4 )     £ 4     ¤ 1      du
              =                =  x  = u  =            =
       x8 − 2   4   (x4 )2 − 2              4   u2 − 2
(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë XV)
                ¯        ¯           ¯          ¯
           1    ¯ u − √2 ¯      1    ¯ x4 − √ 2 ¯
                ¯        ¯           ¯          ¯
       = √ ln ¯       √ ¯ + C = √ ln ¯      √ ¯ + C.
          8 2   ¯ u+ 2   ¯     8 2   ¯ x + 2¯
                                        4

Страницы