Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

XV.
R
dx
x
2
−a
2
=
1
2a
ln |
x−a
x+a
| + C (a 6= 0),
R
dx
x
2
−1
=
1
2
ln |
x−1
x+1
| + C.
XVI.
R
dx
x
2
+a
2
=
1
a
arctg
x
a
+ C (a 6= 0).
XVII.
R
xdx
x
2
±a
2
=
1
2
ln |x
2
± a
2
| + C.
XVIII.
R
dx
√
x
2
±a
2
= ln |x +
√
x
2
± a
2
| + C.
XIX.
R
dx
√
a
2
−x
2
= arcsin
x
a
+ C (a > 0).
XX.
R
xdx
√
a
2
±x
2
= ±
√
a
2
± x
2
+ C.
XXI.
R
√
a
2
− x
2
dx =
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C (a > 0).
XXII.
R
√
x
2
± a
2
dx =
x
2
√
x
2
± a
2
±
a
2
2
ln |x +
√
x
2
± a
2
| + C.
f
R
f(x)dx
f(x) = g(x) + h(x)
Z
f(x)dx =
Z
g(x)dx +
Z
h(x)dx.
Z
f(x)dx = F (x) + C,
Z
f(u)du = F (u) + C,
                                                               9

Äàëåå ïðèâåäåì åùå âîñåìü èíòåãðàëîâ, êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ òàá-
ëè÷íûìè è íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ èñïîëüçîâàíèÿ ïðîñòåéøèõ
ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ è èíòåãðàëîâ IXIV, óêàçàííûõ â òàá-
ëèöå âûøå.
                R dx           1
   XV.             x2 −a2
                            = 2a  ln | x−a
                                       x+a
                                           |+C         (a 6= 0),
                          R dx
                             x2 −1
                                    = 21 ln | x−1
                                              x+1
                                                  | + C.
                   R dx
   XVI.               x2 +a2
                               = a1 arctg xa + C (a 6= 0).
                       R xdx
  XVII.                   x2 ±a2
                                 = 12 ln |x2 ± a2 | + C.
                  R dx                       √
 XVIII.               √
                        x2 ±a2
                                = ln |x + x2 ± a2 | + C.
                  R dx
   XIX.               √
                        a2 −x2
                                = arcsin xa + C (a > 0).
                       R xdx              √
   XX.                    √
                             2
                            a ±x 2  =   ±   a2 ± x2 + C.
        R√                    √                2
   XXI.     a2 − x2 dx = x2 a2 − x2 + a2 arcsin xa + C (a > 0).
        R√                    √                2         √
  XXII.    x2 ± a2 dx = x2 x2 ± a2 ± a2 ln |x + x2 ± a2 | + C.


Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè fR ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàð-
íîé ôóíêöèåé, òî ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë f (x)dx âûðàæàåòñÿ
÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè èëè ÷òî ýòîò èíòåãðàë âû÷èñ-
ëÿåòñÿ.

            4. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
   (1) Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ. Åñëè f (x) = g(x) + h(x), òî
             Z          Z         Z
               f (x)dx = g(x)dx + h(x)dx.
   (2) Ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîãî àðãóìåíòà. Åñëè
                  Z
                    f (x)dx = F (x) + C,
       òî            Z
                         f (u)du = F (u) + C,

Страницы