Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 11 стр.

           Занятие 4. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.                                                           Контрольные вопросы (I блок)
                           РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
                                                                                                 1) Сформулируйте, какие векторы называются: коллинеарными (сона-
      I. Получить домашнюю контрольную работу № 1.                                           правленными, противоположно направленными), равными, коллинеарными,
      II. Задания для аудиторной работы.                                                     компланарными.
                                                                                                 2) Какой угол называют углом между векторами?
1. Уравнения прямых 2 x − y + 3 z − 1 = 0 и 5x + 4 y − z − 7 = 0 привести к канониче-            3) Какие векторы называют единичными, нулевыми? Что можно сказать
   скому виду.                                                                               о координатах этих векторов?
                                                                                                 4) Что такое правило треугольника, правило параллелограмма, правило
                         ⎧2 x + 3 y + 3 z − 9 = 0,
2. Построить прямую ⎨                                                                        многоугольника?
                         ⎩4 x + 2 y + z − 8 = 0.                                                 5) Сформулируйте:
3. Из начала координат опустить перпендикулярна прямую                                               • свойства суммы и произведения на число (геометрически и в коор-
    x − 2 y −1 z − 3                                                                         динатах);
         =    =      .                                                                               • скалярное произведение, скалярный квадрат вектора.
      2    3     1
                                                                                                 6) Сформулируйте и докажите с помощью векторов следующие теоремы.
                  x   y   z                                                                          • Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда;
4. В уравнениях     =   =   прямой определить параметр n так, чтобы эта
                  2 −3 n                                                                             • О длине медианы треугольника;
                                x +1 y + 5 z                                                         • О точке пересечения медиан треугольника;
    прямая пересеклась с прямой     =     =   и найти точку их пересече-
                                  3    2    1                                                        • Теорему косинусов;
    ния.                                                                                             • Признак перпендикулярности прямой и плоскости;
5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (3; 2; –1) и пере-                           • Теорему о трех перпендикулярах.
   секающей ось Ох под прямым углом.                                                             7) Что такое векторное и смешанное произведение векторов? Как его вы-
                                                                                             числить, зная координаты исходных векторов? В чем геометрический смысл
                    x +1 y −1 z − 2                                                          векторного произведения.
6. Через прямую         =    =      провести плоскость, параллельную пря-
                      2   −1    3                                                                8) Дайте формулы уравнения прямой в пространстве (уравнениями двух
         x   y + 2 z −3                                                                      плоскостей, через две точки, канонические уравнения, параметрическое урав-
    мой    =      =     .
        −1     2     −3                                                                      нение).
                                                                                                 9) Условие компланарности двух прямых. Угол между прямыми, угол
                                                                                             между прямой и плоскостью. Условие параллельности прямой и плоскости,
     Литература:
                                                                                             перпендикулярности прямой и плоскости.
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,
                                                                                                10) Уравнение плоскости (общее, в отрезках, через три точки).
   1996. Т. 1. (Гл. II).
                                                                                                11) Как найти угол между плоскостями (дайте формулу)? В чем состоит
                                                                                             условие параллельности и перпендикулярности плоскостей?


                                                                                        11