Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

9
Занятие 3. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
I. Самостоятельная работа № 1.
II. Задания для аудиторной работы.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей
через точку
0
M
и вектор нормали.
Частные случаи:
• А=0 – плоскость параллельна оси Ox (В=0 –
Oy, C=0 –
Oz);
• D=0 – проходит через начало координат;
• А=В=0 – плоскость перпендикулярна оси Oz (А=С=0 –
⊥
Oy, В=C=0
–
⊥ Ox);
• А=D=0 плоскость содержит ось Ox (В=D=0 – содержит ось Oy,
C=D=0 –содержит ось Oz);
• А=В=D=0 – плоскость совпадает с плоскостью xOy (А=С=D=0 – с
xOz, В=C=D=0 с yOz).
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
(
)
235
M
;; и
перпендикулярной вектору
43 2nijk=++ .
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
(
)
23 1
M
;;
−
и
параллельной плоскости
532100xyz−+−=.
Указание. Решить задачи двумя способами: через общее уравнение плоско-
сти и с помощью уравнения плоскости через точку и вектор нормали.
Уравнение плоскости по трем точкам.
3. Из точки
(
)
23 5P;;
−
на координатные плоскости опущены перпенди-
куляры. Составить уравнение плоскости, проходящее через их осно-
вания.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(
)
543
A
;; и
отсекающей равные отрезки на осях координат.
Указание. Решить задачу двумя способами: 1) через уравнение плоскости,
проходящей через три точки, 2) с помощью уравнения плоскости в отрезках.
Взаимное расположение плоскостей.
5. Выяснить взаимное расположение плоскостей а)
23610xyz
−+= и
46120xy z+− =; б) 23 50xyz
+
−+= и 31940xy z
+
+−=.
Угол между плоскостями.
6. Вычислить угол между плоскостями
20xyz
+
−= и 4730yz .
−
+=
Расстояние от точки до плоскости.
7. Вычислить расстояние от точки
(
)
123
M
;;
до плоскости
24 30xyz−++=.
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Найти расстояние от точки
(
)
13 2M;;
−
до плоскости
234120xyz−−+=. (
13
29
d = )
2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки
(
)
23 5M;;−
на
плоскость
425120xyz
−
+−= (
75
3
)
3. Найти уравнение плоскости, зная, что точка
(
)
4312P;;− служит ос-
нованием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту
плоскость. (
4 3 12 169 0xy z
−
+−=)
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
()
315M;;−−
и перпендикулярной плоскостям
32 270xyz
−
++=
и
54310xyz
−
++=
(
22150xy z
+
−−=
)
5. Какой угол образует с плоскостью
240xy z
+
+−= вектор 2ai jk?=+ +

(
5
6
arc sin
)
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
шк., 1996. Т. 1. (Гл. II). 
                Занятие 3. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ                                             Взаимное расположение плоскостей.
                                                                                     5. Выяснить взаимное расположение плоскостей а) 2 x + 3 y − 6 z + 1 = 0 и
      I. Самостоятельная работа № 1.
                                                                                        4 x + 6 y − 12 z = 0 ; б) 2 x + 3 y − z + 5 = 0 и 3 x + 1 y + 9 z − 4 = 0 .
      II. Задания для аудиторной работы.
                                                                                           Угол между плоскостями.
      Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей
через точку M 0 и вектор нормали.                                                    6. Вычислить угол между плоскостями x + 2 y − z = 0 и 4 y − 7 z + 3 = 0.
      Частные случаи:
• А=0 – плоскость параллельна оси Ox (В=0 – Oy, C=0 – Oz);                                 Расстояние от точки до плоскости.
• D=0 – проходит через начало координат;                                             7. Вычислить          расстояние      от   точки      M (1; 2; 3)   до   плоскости
• А=В=0 – плоскость перпендикулярна оси Oz (А=С=0 – ⊥ Oy, В=C=0                          2x − 4 y + z + 3 = 0 .
   – ⊥ Ox);
• А=D=0 плоскость содержит ось Ox (В=D=0 – содержит ось Oy,                                III. Задания для внеаудиторной работы.
   C=D=0 –содержит ось Oz);
• А=В=D=0 – плоскость совпадает с плоскостью xOy (А=С=D=0 – с                        1. Найти         расстояние      от      точки     M (1; 3; −2 )    до   плоскости
   xOz, В=C=D=0 с yOz).                                                                                                                                               13
                                                                                         2 x − 3 y − 4 z + 12 = 0 .                                           (d =          )
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2; 3; 5 ) и                                                                                                  29

    перпендикулярной вектору n = 4i + 3 j + 2k .                                     2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M ( 2; 3;−5 ) на
                                                                                                                                                                     7 5
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2; 3;−1) и                      плоскость 4 x − 2 y + 5 z − 12 = 0                                      (       )
                                                                                                                                                                      3
   параллельной плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 .
                                                                                     3. Найти уравнение плоскости, зная, что точка P ( 4; −3;12 ) служит ос-
У к а з а н и е . Решить задачи двумя способами: через общее уравнение плоско-          нованием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту
сти и с помощью уравнения плоскости через точку и вектор нормали.                       плоскость.                                  ( 4 x − 3 y + 12 z − 169 = 0 )
      Уравнение плоскости по трем точкам.                                            4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 3; −1; −5 )
3. Из точки P ( 2; 3;−5 ) на координатные плоскости опущены перпенди-                   и перпендикулярной плоскостям 3x − 2 y + 2 z + 7 = 0 и 5 x − 4 y + 3 z + 1 = 0
   куляры. Составить уравнение плоскости, проходящее через их осно-                                                                          ( 2 x + y − 2 z − 15 = 0 )
   вания.                                                                            5. Какой угол образует с плоскостью x + y + 2 z − 4 = 0 вектор a = i + 2 j + k ?
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 5; 4; 3) и                                                                                                 5
                                                                                                                                                              ( arc sin )
   отсекающей равные отрезки на осях координат.                                                                                                                         6
                                                                                          Литература:
У к а з а н и е . Решить задачу двумя способами: 1) через уравнение плоскости,
проходящей через три точки, 2) с помощью уравнения плоскости в отрезках.             1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
                                                                                        шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).
                                                                                 9

Страницы