Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

7
Занятие 2. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
I. Повторение темы «Векторы на плоскости и в пространстве».
1. Даны векторы 34 ami j k=++

и 47bimjk
=
+−

. При каких значениях m эти векторы пер-
пендикулярны? Могут ли эти векторы быть коллинеарными? Записать координаты век-
торов.
2. Найти
()()
532 , если 2, 3, .abab a b ab+− ==⊥

II. Задания для аудиторной работы.
Векторное произведение. Ориентированные тройки векторов.
3. Изобразив векторное произведение векторов на кубе, доказать:
1
,
A
BAD AA×=
  
11111
,CC CD CB×=
 
11
2. CB BC DC×=
 
4. Ввести систему координат, вычислить векторное произведение векторов
A
BAD
×

,
111
CC CD×
 
,
11
CB BC×

через вычислительную формулу. Сравните результат с результатом в
предыдущей задаче.
Смешанное произведение.
5. Вычислив смешанное произведение векторов
(
)
1
;;
A
BADAA
  
, убедитесь, что тройка векто-
ров
()
1
;;
A
BADAA

– правая. (Аналогично
(
)
11111
;; ,CC CD CB
 
(
)
11
;;2 CB BC DC

).
Геометрические приложения векторного и смешанного произведения. Объем па-
раллелепипеда и площадь параллелограмма.
6. Даны четыре точки с координатами А(2,2,2); В(4,3,3); С(4,5,4); К(5,5,6). Найти длины
сторон получившегося тетраэдра, угол между ребрами, площади боковых граней, объем.
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Дан единичный куб
111 1
A
BCDA B C D . Изобразить результат векторного произведения
а)
11
A
CDD×
 
; b)
11
A
CDB×

. (
11
BD

,
1
2CD

)
Результат проверить, решив задачу вторым способом. Для этого введите систему коор-
динат и используйте вычислительную формулу для нахождения векторного произведе-
нии через координаты.
2. Даны координаты точек А
1
(1;–1;0); А
2
(2;–1;–1); А
3
(–2;1;3) А
4
(1;–2;0). Найти координаты
всех векторов и их длины; угол между векторами
12
А
А

и
13
А
А

; площадь параллелограмма,
построенного на векторах
12
А
А

и
13
А
А

. Найти объем параллелепипеда построенного на
векторах
12
А
А

,
13
А
А

и
14
А
А

.
(
12
2АА =

;
13
22АА =

;
14
1АА
=

;
23
6АА
=

;
24
3АА =

;
34
33АА =

;
123
22
AA A
S = , 0V
=
)
IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 1 по материалам 1 и 2 занятий.
Литература:
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 1992. (Гл. IV, V).
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II). 
            Занятие 2. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

      I. Повторение темы «Векторы на плоскости и в пространстве».
1. Даны векторы a = mi + 3 j + 4k и b = 4i + m j − 7k . При каких значениях m эти векторы пер-
   пендикулярны? Могут ли эти векторы быть коллинеарными? Записать координаты век-
   торов.
2. Найти ( 5a + 3b )( 2a − b ) , если a = 2, b = 3, a ⊥ b.

      II. Задания для аудиторной работы.
      Векторное произведение. Ориентированные тройки векторов.
3. Изобразив        векторное       произведение        векторов       на    кубе,    доказать:      AB × AD = A1 A,
    C1C × C1 D1 = C1 B1 , CB1 × BC1 = 2 DC.
4. Ввести систему координат, вычислить векторное произведение векторов AB × AD ,
   C1C × C1 D1 , CB1 × BC1 через вычислительную формулу. Сравните результат с результатом в
   предыдущей задаче.
      Смешанное произведение.
5. Вычислив смешанное произведение векторов ( AB; AD; A1 A) , убедитесь, что тройка векто-
   ров ( AB; AD; A1 A ) – правая. (Аналогично ( C1C; C1 D1 ; C1 B1 ) , ( CB1 ; BC1 ; 2 DC ) ).

     Геометрические приложения векторного и смешанного произведения. Объем па-
     раллелепипеда и площадь параллелограмма.
6. Даны четыре точки с координатами А(2,2,2); В(4,3,3); С(4,5,4); К(5,5,6). Найти длины
   сторон получившегося тетраэдра, угол между ребрами, площади боковых граней, объем.

      III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . Изобразить результат векторного произведения
   а) AC1 × DD1 ; b) AC1 × DB1 .                                           ( B1 D1 , 2CD1 )
   Результат проверить, решив задачу вторым способом. Для этого введите систему коор-
   динат и используйте вычислительную формулу для нахождения векторного произведе-
   нии через координаты.
2. Даны координаты точек А1(1;–1;0); А2(2;–1;–1); А3(–2;1;3) А4(1;–2;0). Найти координаты
   всех векторов и их длины; угол между векторами А1 А2 и А1 А3 ; площадь параллелограмма,
   построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 . Найти объем параллелепипеда построенного на
   векторах А1 А2 , А1 А3 и А1 А4 .
        ( А1 А2 = 2 ; А1 А3 = 22 ; А1 А4 = 1 ; А2 А3 = 6 ; А2 А4 = 3 ; А3 А4 = 3 3 ; S A A A = 2 2 , V = 0 )
                                                                                             1 2 3




      IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 1 по материалам 1 и 2 занятий.

     Литература:
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 1992. (Гл. IV, V).
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).




                                                         7

Страницы