ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
Занятие 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Теоретические сведения.
Вектор (от лат. vector, букв. «несущий») – направленный отрезок
прямой, у которого один конец (точка А) называется началом вектора,
другой конец (точка В) – концом вектора. Термин «вектор» ввёл У. Га-
мильтон (ок. 1845); обозначения
a
– Ж. Арган (1806),
A
B
– А. Мёбиус.
Основные понятия: коллинеарные (сонаправленные, противопо-
ложно направленные) векторы, равные и противоположные векторы,
компланарные векторы, угол между векторами, единичный и нулевой
векторы, координаты вектора.
Основные операции.
• Сумма и разность векторов – геометрически (правила треугольника,
параллелограмма, многоугольника) и в координатах. Умножение на число.
• Скалярное произведения. Скалярный квадрат вектора.
Примеры применения векторов при решении задач.
• Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме
квадратов всех его сторон.
• Теорема 3. О длине медианы треугольника (
222
22
2
a
bca
m
+−
=
).
• Теорема 4. О точке пересечения медиан треугольника.
• Теорема косинусов.
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
• Теорема о трех перпендикулярах.
II. Задания для аудиторной работы.
1. ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка простран-
ства. Разложите вектор
BM
по векторам OA a
=
, OB b
=
, OC c
=
.
2. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде EABCD
прямая, проходящая через основание высоты пирамиды и точку пере-
сечения медиан грани ЕАВ, перпендикулярна прямой АВ.
3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани
АВС. Найти скалярное произведение векторов:
OA BO⋅
,
A
DOC
⋅
,
A
BCD⋅
.
4. В прямой призме
111
A
BCA B C АВ=ВС=1,
1
6AA = , ∠ВАС=30°. Найдите
углы между прямыми
1
A
C и
1
A
B .
5. Дан куб
111 1
A
BCDA B C D . Используя метод координат найти угол между
прямыми
1
A
B и
1
A
D .
6. Даны векторы
a
и b
. Найти
(
)
(
)
3abab
+
−
, если
{
}
2; 2;1 ,a −
3bik=−
.
7. Дан вектор
(
)
5; 1; 4a −
. При каком значении k вектор
{}
10; ;8dk
а) коллинеарен вектору
a
, б) перпендикулярен вектору a
.
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Дан параллелепипед
111 1
A
BCDA B C D . Медианы треугольника
1
BB C пе-
ресекаются в точке М. Разложить вектор
A
M
по векторам
1
A
Aa=
,
A
Bb=
,
A
Dc
=
. (
3
ac
b
+
+
)
2. Дан прямоугольный параллелепипед
111 1
A
BCDA B C D , основанием кото-
рого служит квадрат со стороной а. Найдите угол между прямыми
1
CD и
1
A
C , если боковое ребро равно 2а. ( arccos 0,3 )
3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани
АВС. Найти скалярное произведение векторов:
BC AD⋅
, OB CO⋅
,
DC OA⋅
(0;
2
6
a
;
2
6
a
−
)
4. Докажите, что если в четырехугольной пирамиде проекция одной из
вершин основания на диагональное сечение лежит на высоте этого
сечения, проведенной к диагонали основания, то одно из боковых ре-
бер пирамиды перпендикулярно этой диагонали.
5. Даны векторы
a
и b
. Найти
(
)
(
)
2abab
+
−
, если
{}
1; 3; 2 ,a −
24bjk=− +
. (–6)
Литература:
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Про-
свещение, 1992. (Гл. IV, V).
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).
Занятие 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 4. В прямой призме ABCA1 B1C1 АВ=ВС=1, AA1 = 6 , ∠ВАС=30°. Найдите
углы между прямыми AC1 и A1 B .
I. Теоретические сведения.
Вектор (от лат. vector, букв. «несущий») – направленный отрезок 5. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Используя метод координат найти угол между
прямой, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, прямыми AB1 и A1 D .
другой конец (точка В) – концом вектора. Термин «вектор» ввёл У. Га-
6. Даны векторы a и b . Найти ( a + 3b )( a − b ) , если a {2; −2;1} , b = 3i − k .
мильтон (ок. 1845); обозначения a – Ж. Арган (1806), AB – А. Мёбиус.
Основные понятия: коллинеарные (сонаправленные, противопо- 7. Дан вектор a ( 5; −1; 4 ) . При каком значении k вектор d {10; k ;8}
ложно направленные) векторы, равные и противоположные векторы, а) коллинеарен вектору a , б) перпендикулярен вектору a .
компланарные векторы, угол между векторами, единичный и нулевой
векторы, координаты вектора. III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Дан параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 . Медианы треугольника BB1C пе-
Основные операции.
• Сумма и разность векторов – геометрически (правила треугольника, ресекаются в точке М. Разложить вектор AM по векторам AA1 = a ,
параллелограмма, многоугольника) и в координатах. Умножение на число. a+c
• Скалярное произведения. Скалярный квадрат вектора. AB = b , AD = c . (b+ )
3
Примеры применения векторов при решении задач. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 , основанием кото-
рого служит квадрат со стороной а. Найдите угол между прямыми
• Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме
квадратов всех его сторон. C1 D и A1C , если боковое ребро равно 2а. ( arccos 0,3 )
2b 2 + 2c 2 − a 2 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани
• Теорема 3. О длине медианы треугольника ( ma = ). АВС. Найти скалярное произведение векторов: BC ⋅ AD , OB ⋅ CO ,
2
• Теорема 4. О точке пересечения медиан треугольника. a2 a2
DC ⋅ OA (0; ; − )
• Теорема косинусов. 6 6
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 4. Докажите, что если в четырехугольной пирамиде проекция одной из
• Теорема о трех перпендикулярах. вершин основания на диагональное сечение лежит на высоте этого
сечения, проведенной к диагонали основания, то одно из боковых ре-
II. Задания для аудиторной работы. бер пирамиды перпендикулярно этой диагонали.
1. ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка простран-
5. Даны векторы a и b . Найти ( 2a + b )( a − b ) , если a {1; −3; 2} ,
ства. Разложите вектор BM по векторам OA = a , OB = b , OC = c .
2. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде EABCD b = −2 j + 4 k . (–6)
прямая, проходящая через основание высоты пирамиды и точку пере-
сечения медиан грани ЕАВ, перпендикулярна прямой АВ. Литература:
3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани 1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Про-
АВС. Найти скалярное произведение векторов: OA ⋅ BO , AD ⋅ OC , свещение, 1992. (Гл. IV, V).
AB ⋅ CD . 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
