Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

22
Производная
Уравнение касательной:
Пример:
22
0; ?xy y x y
+
+= =
1) Дифференцируем по х левую часть уравнения,
считая y функцией от х;
2) Результат приравниваем к 0;
3) Решаем линейное уравнение относительно
y
′
.
ПРАВИЛА
дифференцирования
Неявная
функция
)(
000
xxyyy −
′
=−
Производные
простейших
фу
нкций
АЛГОРИТМ
),()( yxFxy
=
1
2
2
2
2
2
2
1. ( )
2. ( ) ln
1
3. (log )
ln
4. (sin ) cos
5. (cos ) sin
1
6. ( )
cos
1
7. ( )
sin
1
8. (arcsin )
1
1
9. ( cos )
1
1
10. ( )
1
1
11. ( )
1
pp
xx
a
xpx
aaa
x
xa
xx
xx
tgx
x
ctgx
x
x
x
ar x
x
arctgx
x
arcctgx
x
−
′
=
′
=
=
′
=
′
=−
′
=
′
=−
′
=
−
′
=−
−
′
=
+
′
=−
+
сложная
функция
)())(( xuxufy
=
⇒
приращение
−
∆
2
,0.6
).(5
).(4
).(3
1.2
0.1
V
VUVU
V
U
V
VUVUUV
UccU
VUVU
x
C
′
−
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≠
′
+
′
=
′
′
=
′
′
±
′
=
′
±
=
′
=
′
руемадифференциxufy
−
=
⇒ ))(((
руемыдифференци
xuu
ufy
⎭
⎬
⎫
=
=
)(
)(
x
xfxxf
x
f
xf
xx
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
′
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
ОК 2.3
Уравнение касательной:            y − y 0 = y 0′ ( x − x 0 )
                                                                                                                                сложная
                                                                             Производная                                        функция



               Производные                                               ∆f         f ( x + ∆x) − f ( x)
                                                           f ′( x) = lim    = lim                                y = f (u ) ⎫
                                                                   ∆x →0 ∆x   ∆x →0          ∆x
               простейших                                                                                                   ⎬дифференци руемы
                                                                                                                 u = u ( x) ⎭
                 функций                                           ∆ − приращение
                                                                                                             ⇒ y = ( f (u ( x )) − дифференцируема
  1. ( x ) ′ = px
         p          p −1


  2. ( a x ) ′ = a x ln a                                                                                      ⇒ y ′ = f ′(u ( x )) ⋅ u ′( x )
                          1                                            ПРАВИЛА
  3. (log a x ) =                                                   дифференцирования
                       x ln a
  4. (sin x ) ′ = cos x                                                                                                    Неявная
  5. (cos x ) ′ = − sin x                                                                                                  функция

  6. ( tgx ) ′ =
                      1                                1.C ′ = 0
                  cos 2 x
                                                       2.x ′ = 1                                                         y ( x ) = F ( x, y )
                          1
  7. ( ctgx ) ′ = −
                      sin 2 x                          3.(U ± V ) ′ = U ′ ± V ′
                                                                                                             П р и м е р : xy + y 2 + x 2 = 0; y = ?
  8. (arcsin x ) ′ =
                             1                         4.(cU ) ′ = cU ′
                           1 − x2                                                                                     АЛГОРИТМ
                                                       5.(UV ) ′ = U ′V + UV ′
                                1
  9. ( ar cos x ) ′ = −                                               ′
                              1 − x2                             ⎛ U ⎞ U ′V − UV ′                  1) Дифференцируем по х левую часть уравнения,
                            1                          6.V ≠ 0, ⎜ ⎟ =                                  считая y функцией от х;
  10. ( arctgx ) ′ =                                             ⎝V ⎠          V2                   2) Результат приравниваем к 0;
                        1 + x2                                                                      3) Решаем линейное уравнение относительно y′ .
                                1
  11. ( arcctgx ) ′ = −
                            1 + x2                                                                                                                     ОК 2.3

                                                                            22

Страницы