ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
Занятие 12. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
I. Самостоятельная работа № 4.
II. Задания для аудиторной работы.
Доказательство основных формул.
1. Докажите правильность вычисленных производных степенной функции,
используя определение производной: 1x
′
= ,
2
2(x ) x
′
=
,
32
3(x ) x
′
= .
2. Докажите истинность формулы производной степенной функции для от-
рицательных степеней, используя правило дифференцирования частного
1
1
nn
n
(x ) nx
x
−−−
′
⎛⎞
′
==−
⎜⎟
⎝⎠
.
3. Найти производную
432
15
43(x x x )
x
−
′
−−+−.
4. Докажите истинность формулы производной степенной функции для
дробных степеней, используя теорему о дифференцировании обратной
функции:
()
11
1
m
mm
m
x
xx
n
−
′
⎛⎞
′
==
⎜⎟
⎝⎠
(
m
x
y= – обратная функция к функции
m
yx= ).
5. Докажите истинность формулы производной функции
sinyx
=
, исполь-
зуя определение производной.
6. Докажите истинность формулы производной функции
ytgx
=
, используя
правило дифференцирования частного.
7. Зная, что
()
1
ln x
x
′
=
, выведите правило для нахождения
()
a
log x
′
.
8. Учитывая тот факт, что функции
a
ylogx= и
x
ya
=
взаимно обратны, вы-
ведите правило для нахождения производной показательной функции.
9. Докажите формулу
()
2
1
1
arc sin x
x
′
=
−
.
Производная сложной функции.
1)
(
)
5
31ysin x=−
; 2)
()
32
2
1ylogx x=−+
; 3)
2
4
2
x
y x arccos x
=
−−.
Уравнение касательной.
1. Составить уравнение касательной к кривой
2
23yx x
=
−+
в точке с абс-
циссой
0
2x = .
2. Составить уравнение касательной к кривой
(
)
(
)
21fx sinxlnx
=
−+ в точ-
ке с абсциссой
0
0x
=
.
3. Найти точки графика функции
(
)
31fx x
=
+ , в которых касательная к
этому графику параллельна прямой
3
4
yx= .
Производная неявной функции.
1)
33
30xy xy
+
−=; 2) sin sin 0xyyx
+
= ; 3)
()()
22
2316xy
−
+− =
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Докажите истинность формулы производной функции
cosyx
=
, исполь-
зуя определение производной.
2. Докажите истинность формулы производной функции
yctgx
=
, исполь-
зуя правило дифференцирования частного.
3. Докажите формулу
()
2
1
1
arc sin x
x
′
=
−
.
4. Вычислить производную неявной функции
23
250xxy y
+
−+=.
(
2
2
6
x
x
y
y
yx
+
′
=
−
)
5. Составить уравнение касательной к кривой
(
)
2
3
f
xxx=− в точке с абс-
циссой
0
2x = . Постройте графики функции и касательной к ней.
(
11 12yx
=
−+)
6. Найти точки графика функции
(
)
f
xxsinx=+ , в которых касательная к
этому графику параллельна прямой 2yx
=
. (
0
2,
x
kk Z
=
π∈)
7. Вычислить производные: 1)
2
3ycosx=
; 2)
5
5
2
x
yln
x
=
+
;
3)
()
3
12yx cosx=+ ; 4)
3
1yx x
=
−−.
(
36
s
in x
−
;
()
5
10
2
xx
+
;
(
)
23
32212
x
cos x x sin x−+ ;
2
31x − )
IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 5 по материалам
занятия 12.
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996.
Т. 1.
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
Занятие 12. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 2. Составить уравнение касательной к кривой f ( x ) = sin 2 x − ln ( x + 1) в точ-
ке с абсциссой x0 = 0 .
I. Самостоятельная работа № 4.
3. Найти точки графика функции f ( x ) = 3x + 1 , в которых касательная к
II. Задания для аудиторной работы.
3
Доказательство основных формул. этому графику параллельна прямой y = x.
4
1. Докажите правильность вычисленных производных степенной функции, Производная неявной функции.
используя определение производной: x′ = 1 , ( x 2 )′ = 2 x , ( x 3 )′ = 3x 2 .
1) x3 + y 3 − 3xy = 0 ; 2) x sin y + y sin x = 0 ; 3) ( x − 2 ) + ( y − 3) = 16
2 2
2. Докажите истинность формулы производной степенной функции для от-
рицательных степеней, используя правило дифференцирования частного
III. Задания для внеаудиторной работы.
⎛ 1 ⎞′ 1. Докажите истинность формулы производной функции y = cos x , исполь-
( x − n )′ = ⎜ n ⎟ = − nx − n −1 .
⎝x ⎠ зуя определение производной.
15 2. Докажите истинность формулы производной функции y = c tg x , исполь-
3. Найти производную ( x 4 − 4 x −3 − x 2 + − 3 )′ . зуя правило дифференцирования частного.
x
1
4. Докажите истинность формулы производной степенной функции для 3. Докажите формулу ( arc sin x )′ = .
дробных степеней, используя теорему о дифференцировании обратной 1 − x2
1 ′ 4. Вычислить производную неявной функции x 2 + xy − 2 y 3 + 5 = 0 .
′ ⎛ ⎞ m −1
1
( )
функции: m x = ⎜ x m ⎟ = x m ( x = m y – обратная функция к функции
n 2x + y
⎝ ⎠ ( y x′ = 2 )
y = x ).m 6y − x
5. Докажите истинность формулы производной функции y = sin x , исполь- 5. Составить уравнение касательной к кривой f ( x ) = x − 3 x 2 в точке с абс-
зуя определение производной. циссой x0 = 2 . Постройте графики функции и касательной к ней.
6. Докажите истинность формулы производной функции y = tg x , используя ( y = −11x + 12 )
правило дифференцирования частного. 6. Найти точки графика функции f ( x ) = x + sin x , в которых касательная к
′ 1 ′ этому графику параллельна прямой y = 2 x . ( x0 = 2πk , k ∈ Z )
7. Зная, что ( ln x ) = , выведите правило для нахождения ( log a x ) .
x x5
8. Учитывая тот факт, что функции y = log a x и y = a x взаимно обратны, вы- 7. Вычислить производные: 1) y = cos 2 3x ; 2) y = ln ;
x +2
5
ведите правило для нахождения производной показательной функции.
3) y = ( x 3 + 1) cos 2 x ; 4) y = x 3 − x − 1 .
1
9. Докажите формулу ( arc sin x )′ = . 10
1 − x2 ( −3 sin 6 x ; ; 3x 2 cos 2 x − 2 ( x3 + 1) sin 2 x ; 3x 2 − 1 )
x ( x5 + 2 )
Производная сложной функции.
x IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 5 по материалам
1) y = sin5 ( 3 x − 1) ; 2) y = log 2 ( x3 − x 2 + 1) ; 3) y = x arccos − 4 − x 2 . занятия 12.
2
Литература:
Уравнение касательной.
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996.
1. Составить уравнение касательной к кривой y = x 2 − 2 x + 3 в точке с абс- Т. 1.
циссой x0 = 2 . 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
