Молекулярная и статистическая физика. Крутов А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
молей воздуха в цилиндре, если площадь его поперечного сечения S, длина
L , а центр тяжести находится на расстоянии r
C
от оси.
Решение
Рассмотрим дифференциально малый объём dV=Sdr воздуха массой
d m = ρ dV, расположенный в цилиндре на расстоянии r от оси вращения, и
запишем для него уравнение состояния
RT
M
dm
PdV =
или
ρ
M
RT
P =
,
=
dV
dm
ρ
. (1)
Так как воздух в цилиндре находится в поле центробежных сил
инерции, давление p будет зависеть от радиуса r. Чтобы найти эту зависи-
мость, следует рассмотреть условие относительного механического равно-
весия воздуха в объёме dV в цилиндре. Данное условие может быть запи-
сано в виде равенства нулю суммы проекций на ось r всех сил, действую -
щих на выделенный элемент воздуха, включая силы инерции, равные по
величине dmrω
2
и направленные от оси вращения, т. е.
0
2
)( =ω++− dmrSdpppS
.
Поскольку dm=ρdVr=ρSdr, отсюда следует
rdrdp
2
ρω=
. (2)
Исключив из (1), (2) плотность
ρ
, получим
p
RT
M
=ρ
, (3)
rdr
RT
M
p
dp
2
ω
=
. (4)
Интегрируя (4) с краевым условием
0
)0( pp
=
, найдём давление )( rp
2
2
2
0
r
RT
M
epp
ω
= . (5)
Подставим это выражение для
p
в (3), найдём массу воздуха в цилиндре в
виде специального интеграла
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
L
dr
r
RT
M
e
RT
SM
p
L
drs
V
dV
V
dV
dV
dm
m
dmm
0
2
2
2
0
0
ω
ρρ
. (6)
Если известен центр масс
c
r
, то массу можно вычислить также сле-
дующим образом 
                                     15

молей воздуха в цилиндре, если площадь его поперечного сечения S, длина
L, а центр тяжести находится на расстоянии rC от оси.
Решение
       Рассмотрим дифференциально малый объём dV=Sdr воздуха массой
dm=ρdV, расположенный в цилиндре на расстоянии r от оси вращения, и
запишем для него уравнение состояния
                                PdV = dm RT
                                      M
или
                             P = RT ρ , �
                                        �ρ = �
                                            dm
                                               �.                       (1)
                                 M      �   dV �
      Так как воздух в цилиндре находится в поле центробежных сил
инерции, давление p будет зависеть от радиуса r. Чтобы найти эту зависи-
мость, следует рассмотреть условие относительного механического равно-
весия воздуха в объёме dV в цилиндре. Данное условие может быть запи-
сано в виде равенства нулю суммы проекций на ось r всех сил, действую-
щих на выделенный элемент воздуха, включая силы инерции, равные по
величине dmrω2 и направленные от оси вращения, т. е.
                           pS −( p +dp)S +dmrω2 =0 .
Поскольку dm=ρdVr=ρSdr, отсюда следует
                             dp =ρω 2 rdr .                             (2)
Исключив из (1), (2) плотность ρ , получим
                                  ρ =M p,                               (3)
                                      RT
                                  dp Mω2
                                     =        rdr .                     (4)
                                   p    RT
Интегрируя (4) с краевым условием p (0) = p 0 , найдём давление p(r )
                                   Mω 2 r 2
                           p = p e 2 RT     .                           (5)
                                0
Подставим это выражение для p в (3), найдём массу воздуха в цилиндре в
виде специального интеграла
                                                     2
                                 L             L Mω r 2
      m = ∫dm = ∫ dm dV = ∫ρdV =s ∫ρdr = p SM ∫e 2 RT   dr .        (6)
                  dV                      0 RT
         m     V         V       0             0
      Если известен центр масс rc , то массу можно вычислить также сле-
дующим образом

Страницы