Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задачи к главе 2
Дифференциальные уравнения электростатики
Задача 2.1. Найти напряженность E электростатического поля, потен-
циал ϕ которого равен:
а) a[b × r]; б) [a ×r][b × r];
в) (d · r) cos(k · r); г) (d · r)/r
3
;
д) f(r)F (r); е) F (f(a · r)).
Здесь векторы a, b, k и d не зависят от координат и времени, а f и F –
произвольные дифференцируемые функции своего аргумента.
Ответы:
а) [b ×a]; б) (a ·r)b −2(a ·b)r + (b ·r)a;
в) (d · r)k sin(k · r) − d cos(k · r); г) 3(d · r)r/r
5
− d/r
3
;
д) −
·
df(r)
dr
F (r) + f(r)
dF (r)
dr
¸
r
r
; е) −
dF
df
df
d(ar)
a.
Задача 2.2. Можно ли создать в пространстве электростатическое поле
с напряженностью:
а) E = [a × r]; б) E = (a · r)b;
в) E = (a · r)r; г) E = f(r)[a × r],
где a и b – постоянные вектора?
Ответы:
а) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля: rotE = 2a;
б) можно, если вектора a и b параллельны, так как при этом усло-
вии ротор заданной векторной функции равен нулю, а дивергенция
отлична от нуля: rotE = [a × b]; divE = (a · b);
в) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля:
rotE = [a × r];
14
Задачи к главе 2
             Дифференциальные уравнения электростатики

Задача 2.1. Найти напряженность E электростатического поля, потен-
циал ϕ которого равен:
  а) a[b × r];                    б) [a × r][b × r];

  в) (d · r) cos(k · r);           г) (d · r)/r3 ;

  д) f (r)F (r);                   е) F (f (a · r)).
Здесь векторы a, b, k и d не зависят от координат и времени, а f и F –
произвольные дифференцируемые функции своего аргумента.

 Ответы:

  а) [b × a];                                    б) (a · r)b − 2(a · b)r + (b · r)a;

  в) (d · r)k sin(k · r) − d cos(k · r);             г) 3(d · r)r/r5 − d/r3 ;
       ·                            ¸
         df (r)               dF (r) r                      dF df
  д) −          F (r) + f (r)          ;             е) −            a.
           dr                  dr r                         df d(ar)
Задача 2.2. Можно ли создать в пространстве электростатическое поле
с напряженностью:
  а) E = [a × r];                          б) E = (a · r)b;

  в) E = (a · r)r;                          г) E = f (r)[a × r],
где a и b – постоянные вектора?

 Ответы:

  а) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
     ля: rotE = 2a;

  б) можно, если вектора a и b параллельны, так как при этом усло-
     вии ротор заданной векторной функции равен нулю, а дивергенция
     отлична от нуля:         rotE = [a × b];     divE = (a · b);

  в) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
     ля:
     rotE = [a × r];

                                       14

Страницы