Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

г) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля:
rotE =
µ
ra −
r
r
(r · a)
∂f
∂r
+ 2af(r).
Задача 2.3. Определить распределение объемной плотности ρ заряда,
создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью E, рав-
ной:
а) (b · r)b; б) grr;
в)
er
r
3
½
1 −
·
1 +
2r
a
³
1 +
r
a
´
¸
exp
µ
−
2r
a
¶¾
.
Здесь векторы a, b и величины a, g и e не зависят от координат, а f -
произвольная дифференцируемая функция своего аргумента.
Ответы:
а)
b
2
4π
; б)
gr
π
. в)
e
πa
3
e
−2r/a
;
Теорема Гаусса
Задача 2.4. Показать, что в случае сферически-симметричного распре-
деления зарядов ρ(r) вектор напряженности электрического поля на-
правлен по радиусу-вектору: E k r.
Задача 2.5. Шар радиуса R заряжен по объему зарядом Q с постоян-
ной плотностью ρ. Найти распределение напряженности поля E внутри
и вне шара.
Решение.
Поле шара, заряженного с постоянной плотностью ρ(r), обладает сфе-
рической симметрией: E
r
= E(r); E
θ
= E
ϕ
= 0. Применив теорему Гаус-
са
H
S
(E · dS) = 4π
R
V
ρ(r)dV к сферической поверхности радиуса r ≤ R с
центром в центре заряженного шара, получим
E ·4πr
2
= 4πρ(r) ·
4
3
πr
3
; E =
4
3
πρr; E =
4
3
πρr = Qr/R
3
.
Для аналогичной сферической поверхности радиуса r > R имеем:
E ·4πr
2
= 4πρ(r) ·
4
3
πR
3
; E =
4
3
πρ
R
3
r
2
; E =
4
3
πρ
R
3
r
3
r = Qr/r
3
.
15
  г) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
     ля:     µ            ¶
                   r        ∂f
     rotE = ra − (r · a)       + 2af (r).
                   r        ∂r
Задача 2.3. Определить распределение объемной плотности ρ заряда,
создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью E, рав-
ной:

  а) (b · r)b;                                              б) grr;
        ½      ·           ¸    µ     ¶¾
     er          2r ³    r´        2r
  в) 3 1 − 1 +        1+     exp −       .
     r           a       a         a
Здесь векторы a, b и величины a, g и e не зависят от координат, а f -
произвольная дифференцируемая функция своего аргумента.

 Ответы:

     b2                           gr                        e −2r/a
  а)    ;                   б)       .                в)       e    ;
     4π                           π                        πa3

                                  Теорема Гаусса

Задача 2.4. Показать, что в случае сферически-симметричного распре-
деления зарядов ρ(r) вектор напряженности электрического поля на-
правлен по радиусу-вектору: E k r.
Задача 2.5. Шар радиуса R заряжен по объему зарядом Q с постоян-
ной плотностью ρ. Найти распределение напряженности поля E внутри
и вне шара.
    Решение.
    Поле шара, заряженного с постоянной плотностью ρ(r), обладает сфе-
рической
   H      симметрией:
                  R   Er = E(r); Eθ = Eϕ = 0. Применив теорему Гаус-
са (E · dS) = 4π ρ(r)dV к сферической поверхности радиуса r ≤ R с
  S                 V
центром в центре заряженного шара, получим
                         4                  4            4
      E · 4πr2 = 4πρ(r) · πr3 ;          E = πρr;     E = πρr = Qr/R3 .
                         3                  3            3
Для аналогичной сферической поверхности радиуса r > R имеем:
                    4                       4 R3         4 R3
  E · 4πr = 4πρ(r) · πR3 ;
            2
                                         E = πρ 2 ;   E = πρ 3 r = Qr/r3 .
                    3                       3 r          3 r
                                           15

Страницы