Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Интегрирование дает
ϕ(r, z) = τ ln
z + l +
p
r
2
+ (z + l)
2
z −l +
p
r
2
+ (z − l)
2
.
Для бесконечного провода потенциал не зависит от z, а потому, положив
z = 0, для достаточно большого значения l À r находим, что
ϕ = τ ln
l +
√
r
2
+ l
2
−l +
√
r
2
+ l
2
= τ ln
1 +
r
1 +
r
2
l
2
−1 +
r
1 +
r
2
l
2
=
= τ ln
2 +
r
2
2l
2
r
2
2l
2
= τ ln
4l
2
r
2
= const − 2τ ln r.
Отсюда напряженность поля
E
r
= −
∂ϕ
∂r
=
2τ
r
; E
θ
= E
z
= 0.
Задача 2.17. В прямом круглом бесконечном цилиндре, равномерно за-
ряженном по объему с постоянной плотностью ρ, имеется бесконечная
цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси цилиндра и от-
стоит от нее на расстояние h. Найти напряженность поля внутри поло-
сти.
Ответ: E(r) = 2πρh.
Задача 2.18. Найти потенциал и напряженность электрического поля
на оси тонкого кольца радиуса a, равномерно заряженного зарядом q.
Ответ: ϕ =
q
√
z
2
+ a
2
, E =
qz
(z
2
+ a
2
)
3/2
e
z
.
Задача 2.19. Найти потенциал и напряженность электрического поля
в центре окружности радиуса a, частью которой является дуга, равно-
мерно заряженная с линейной плотностью τ. Центральный угол дуги γ.
Ответ: ϕ = τγ; E =
2τ
a
sin
γ
2
.
Задача 2.20. Найти потенциал и напряженность электрического по-
ля, создаваемого диполем с моментом p = qd на больших расстояниях,
r À d.
19
   Интегрирование дает
                                          p
                                  z+l+     r2 + (z + l)2
                 ϕ(r, z) = τ ln           p                .
                                  z−l+     r2 + (z − l)2
Для бесконечного провода потенциал не зависит от z, а потому, положив
z = 0, для достаточно большого значения l À r находим, что
                                               r
                         √                          r2
                     l + r2 + l2           1+ 1+ 2
           ϕ = τ ln      √          = τ ln     r l =
                    −l + r2 + l2                     r2
                                           −1 + 1 + 2
                                                     l
                               2
                             r
                        2+ 2           4l2
                = τ ln      2l   = τ ln 2 = const − 2τ ln r.
                          r2            r
                          2l2
Отсюда напряженность поля
                            ∂ϕ 2τ
                   Er = −      = ;        Eθ = Ez = 0.
                            ∂r  r
Задача 2.17. В прямом круглом бесконечном цилиндре, равномерно за-
ряженном по объему с постоянной плотностью ρ, имеется бесконечная
цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси цилиндра и от-
стоит от нее на расстояние h. Найти напряженность поля внутри поло-
сти.
                      Ответ:       E(r) = 2πρh.
Задача 2.18. Найти потенциал и напряженность электрического поля
на оси тонкого кольца радиуса a, равномерно заряженного зарядом q.
                                q                     qz
            Ответ: ϕ = √              ,    E=                  ez .
                             z 2 + a2           (z 2 + a2 )3/2
Задача 2.19. Найти потенциал и напряженность электрического поля
в центре окружности радиуса a, частью которой является дуга, равно-
мерно заряженная с линейной плотностью τ . Центральный угол дуги γ.
                                                2τ    γ
                  Ответ: ϕ = τ γ;         E=       sin .
                                                 a    2
Задача 2.20. Найти потенциал и напряженность электрического по-
ля, создаваемого диполем с моментом p = qd на больших расстояниях,
r À d.

                                    19

Страницы