Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение.
r r
r
-´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´3
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡µ
d-q +q
r
1
r
2
P
θ
Диполем называется совокупность
двух зарядов +q и −q, разделенных
расстоянием d (вектор d направлен
от отрицательного к положительному
заряду). Потенциал обоих зарядов в
произвольной точке поля P равен:
ϕ = q
µ
1
r
2
−
1
r
1
=
q(r
1
− r
2
)
r
1
r
2
.
В случае r
1
≈ r
2
À d можно приближенно положить:
r
1
r
2
= r
2
, r
1
− r
2
=
(d · r)
r
.
Ввиду малости расстояния d безразлично, из какой именно точки ди-
поля проведен радиус-вектор r в точку наблюдения P . Таким образом,
потенциал диполя принимает вид
ϕ =
q(d · r)
r
3
=
(p · r)
r
3
.
Напряженность поля
E = − grad ϕ = − grad
µ
(p · r)
r
3
=
±
см. (1.5(б))
±
=
3(p · r)r
r
5
−
p
r
3
.
Ответ: ϕ =
(p · r)
r
3
; E =
3(p · r)r
r
5
−
p
r
3
.
Задача 2.21. Найти напряженность электрического поля в точке, от-
стоящей на расстояние a от равномерно заряженного с плотностью τ
стержня. Стержень виден из точки под углом γ.
Ответ: E =
2τ
a
sin
γ
2
.
Метод изображений
Данный метод основывается на однозначности решения уравнений элек-
тростатики с заданными граничными условиями и используется для рас-
чета полей статических зарядов в присутствии проводников. Суть его
состоит в замене проводника с индуцированными на его поверхности за-
рядами такой системой зарядов-изображений, которая бы дала вместе
20
   Решение.
                                     Диполем называется совокупность
                                   P
                                   r двух зарядов +q и −q, разделенных
                                 3́
                                 ´
                                 ¡
                                 µ
                                ´¡
                              ´      расстоянием d (вектор d направлен
                           ´ ¡
                          ´ ¡        от отрицательного к положительному
                   r 1 ´´ ¡
                    ´     ¡r         заряду). Потенциал обоих зарядов в
                  ´     ¡    2
                ´
            ´
              ´       ¡              произвольной точке поля P равен:
          ´        ¡
      ´
        ´        ¡                            µ          ¶
     ´θ        ¡                                1     1      q(r1 − r2 )
   r´      -r¡                           ϕ=q        −      =             .
  -q d +q                                       r 2   r1        r1 r 2


В случае r1 ≈ r2 À d можно приближенно положить:
                                                      (d · r)
                    r1 r2 = r 2 ,        r 1 − r2 =           .
                                                        r
Ввиду малости расстояния d безразлично, из какой именно точки ди-
поля проведен радиус-вектор r в точку наблюдения P . Таким образом,
потенциал диполя принимает вид
                                q(d · r) (p · r)
                          ϕ=            =        .
                                  r3       r3
Напряженность поля
                           µ             ¶
                               (p · r)        ±            ± 3(p · r)r   p
  E = − grad ϕ = − grad                      = см. (1.5(б)) =          −    .
                                 r3                             r5       r3
                          (p · r)        3(p · r)r   p
              Ответ: ϕ =          ; E =            −    .
                            r3              r5       r3
Задача 2.21. Найти напряженность электрического поля в точке, от-
стоящей на расстояние a от равномерно заряженного с плотностью τ
стержня. Стержень виден из точки под углом γ.
                                               2τ    γ
                        Ответ:           E=       sin .
                                                a    2
                           Метод изображений

Данный метод основывается на однозначности решения уравнений элек-
тростатики с заданными граничными условиями и используется для рас-
чета полей статических зарядов в присутствии проводников. Суть его
состоит в замене проводника с индуцированными на его поверхности за-
рядами такой системой зарядов-изображений, которая бы дала вместе

                                         20

Страницы