Задачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные поля. Крыловецкая Т.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение.
Исходя из симметрии распределения тока, можно считать, что на-
пряженность магнитного поля может зависеть только от расстояния до
проводника: H = H(r), где r – радиальная переменная цилиндрической
системы координат с осью 0z направленной вдоль оси проводника с то-
ком. Уравнение div H = 0 в этой системе дает rH
r
= const = 0, так как
H
r
(0) должно быть ограничено. Следовательно, H
r
≡ 0.
Уравнение rot H = 4πj/с дает H
z
= 0, H
φ
= 2πjr/c внутри провод-
ника, H
φ
= 2J/(cr) – вне проводника.
Ответ : H(r) =
½
2Jr/(ca
2
)e
φ
для r ≤ a,
2J/(cr)e
φ
для r > a.
Задача 3.11. Найти распределение напряженности магнитного поля в
предыдущей задаче с помощью формулы Ампера (30).
Решение.
Направим ось 0z вдоль проводника с током. Тогда с помощью закона
Ампера находим:
H
φ
· 2πr =
4π
c
Z
S
j
n
dS.
Для r > a :
Z
S
j
n
dS = J;
для r ≤ a (ввиду того, что j
n
= J/(πa
2
)) :
Z
S
j
n
dS =
J
πa
2
πr
2
=
Jr
2
a
2
.
H
φ
=
½
4π/c · (Jr
2
)/a
2
· 1/(2πr) = 2Jr/(ca
2
)e
φ
для r ≤ a,
4π/c · J/(2πr) = 2J/(cr)e
φ
для r > a.
H
z
= 0, так как напряженность поля каждого из элементов тока, соглас-
но закону Био – Савара, перпендикулярна направлению тока.
div H = 0, div H =
∂H
z
∂z
+
1
r
∂
∂r
(rH
r
) +
1
r
∂H
φ
∂φ
= 0,
откуда следует rH
r
= const, что ввиду конечности вектора H при r = 0
может иметь место лишь при H
r
= 0.
Задача 3.12. Коаксиальный кабель имеет центральную жилу радиу-
са r
1
и внешнюю оболочку радиусов r
2
и r
3
. По жиле и оболочке, в
противоположных направлениях, протекают токи силы J, равномерно
37
    Решение.
    Исходя из симметрии распределения тока, можно считать, что на-
пряженность магнитного поля может зависеть только от расстояния до
проводника: H = H(r), где r – радиальная переменная цилиндрической
системы координат с осью 0z направленной вдоль оси проводника с то-
ком. Уравнение div H = 0 в этой системе дает rHr = const = 0, так как
Hr (0) должно быть ограничено. Следовательно, Hr ≡ 0.
    Уравнение rot H = 4πj/с дает Hz = 0, Hφ = 2πjr/c внутри провод-
ника, Hφ = 2J/(cr) – вне проводника.
                             ½
                               2Jr/(ca2 )eφ для r ≤ a,
             Ответ : H(r) =
                                 2J/(cr)eφ для r > a.

Задача 3.11. Найти распределение напряженности магнитного поля в
предыдущей задаче с помощью формулы Ампера (30).
Решение.
   Направим ось 0z вдоль проводника с током. Тогда с помощью закона
Ампера находим:                      Z
                                  4π
                       Hφ · 2πr =      jn dS.
                                   c
                                             S

                      Z
   Для r > a :            jn dS = J;
                      S
                                                      Z
                                                 2                J   2 Jr2
   для r ≤ a (ввиду того, что jn = J/(πa )) :             jn dS = 2 πr = 2 .
                                                                 πa      a
                                                      S
            ½
                4π/c · (Jr2 )/a2 · 1/(2πr) = 2Jr/(ca2 )eφ для r ≤ a,
     Hφ =
                              4π/c · J/(2πr) = 2J/(cr)eφ для r > a.
Hz = 0, так как напряженность поля каждого из элементов тока, соглас-
но закону Био – Савара, перпендикулярна направлению тока.
                                       ∂Hz 1 ∂             1 ∂Hφ
        div H = 0,         div H =         +      (rHr ) +       = 0,
                                        ∂z   r ∂r          r ∂φ
откуда следует rHr = const, что ввиду конечности вектора H при r = 0
может иметь место лишь при Hr = 0.
Задача 3.12. Коаксиальный кабель имеет центральную жилу радиу-
са r1 и внешнюю оболочку радиусов r2 и r3 . По жиле и оболочке, в
противоположных направлениях, протекают токи силы J, равномерно

                                        37

Страницы