Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

матрицу |A|=(|a
ij
|), где |a
ij
|- модули элементов матрицы А.
Если А и В- матрицы, для которых операции А+В и АВ имеют смысл, то:
1) |A+B|≤|A|+|B|;
2) |AB|≤|A||B|;
3) |αA|=|α||A|, где |α| - число.
Под нормой матрицы А понимается действительное число ||А||,
удовлетворяющее условиям:
1) ||A||≥0, причем ||A||=0 тогда и только тогда, когда А=0;
2) ||αA||=|α|||A||;
3) ||A+B||≤||A||+||B||;
4) ||AB||≤||A||||B||.
Рассмотрим три нормы матрицы:
1) m- норма, ||A||
m
=
∑
=
=
n
j
ij
i
nia
1
;,...,1|,|max
2) l- норма, ||A||
l
= ;,...,1|,|max
1
nja
ij
n
i
j
=
∑
=
3) k-норма, ||A||
k
= .||
2
11
ij
n
j
n
i
a
∑∑
==
Пример: Вычислить нормы матрицы.
А= 1 -2
3 4
||A||
m
=max(|1|+|-2|,|3|+|4|)=max(3,7)=7;
||A||
l
=max(|1|+|3|,|-2|+|4|)=max(4,6)=6;
||A||
k
= .6.53016941 ≈=+++
Норма матрицы потребуется для оценки сходимости метода итераций.
Для проверки условия окончания итерационного процесса введем
понятие нормы вектора и нормы вектора разностей.
Пусть дан вектор
=
n
x
x
x
x
...
2
1
Тогда в линейном пространстве R
n
n- мерных векторов норма вектора
определяется:
||X||
m
=max|x
i
|;
||X||
l
=|x
1
|+|x
2
|+…+|x
n
| (2.1)
||X||
k
=
∑
=
n
i
i
x
1
2
|| .
13
матрицу |A|=(|aij|), где |aij|- модули элементов матрицы А.
     Если А и В- матрицы, для которых операции А+В и АВ имеют смысл, то:
     1) |A+B|≤|A|+|B|;
     2) |AB|≤|A||B|;
     3) |αA|=|α||A|, где |α| - число.
     Под нормой матрицы А понимается действительное число ||А||,
удовлетворяющее условиям:
     1) ||A||≥0, причем ||A||=0 тогда и только тогда, когда А=0;
     2) ||αA||=|α|||A||;
     3) ||A+B||≤||A||+||B||;
     4) ||AB||≤||A||||B||.
     Рассмотрим три нормы матрицы:
                                          n
     1) m- норма, ||A||m= max ∑ | a ij |, i = 1,..., n ;
                                  i
                                          j =1
                                      n
     2) l- норма, ||A||l= max ∑ | aij |, j = 1,..., n;
                              j
                                   i =1
                                   n       n
     3) k-норма, ||A||k=          ∑∑
                                  i =1    j =1
                                                 | aij |2 .

     Пример: Вычислить нормы матрицы.

                                        А= 1 -2
                                           3 4
     ||A||m=max(|1|+|-2|,|3|+|4|)=max(3,7)=7;
     ||A||l=max(|1|+|3|,|-2|+|4|)=max(4,6)=6;
     ||A||k= 1 + 4 + 9 + 16 = 30 ≈ 5.6.
     Норма матрицы потребуется для оценки сходимости метода итераций.
     Для проверки условия окончания итерационного процесса введем
понятие нормы вектора и нормы вектора разностей.
     Пусть дан вектор
                                                                   x1 
                                                                   
                                                                  x 
                                                              x =  2
                                                                   ...
                                                                   
                                                                  x 
                                                                   n

     Тогда в линейном пространстве Rn n- мерных векторов норма вектора
определяется:

                                                 ||X||m=max|xi|;
                                                 ||X||l=|x1|+|x2|+…+|xn|          (2.1)
                                                                 n
                                                 ||X||k=        ∑| x
                                                                i =1
                                                                       i   |2 .




                                                                                    13

Страницы