Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

y
1
1 2.45 x
Рисунок 15
Система (2.1) называется плохо обусловленной системой, если
определитель системы det<1.
2.3 Метод итераций
Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными
a
11
x
1
+a
12
x
2
+a
13
x
3
=b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+a
23
x
3
=b
2
(2.3)
a
31
x
1
+a
32
x
2
+a
33
x
3
=b
3
Предположим, что а11≠0, а22≠0, а33≠0.
Преобразуем систему (3.1) к эквивалентному виду, выразив в каждом
уравнении неизвестные x
i
(i=1, 2, 3) стоящие на главной диагонали:
+−−=
+−−=
+−−=
33
3
2
33
32
1
33
31
3
22
2
3
22
23
1
22
21
2
11
1
3
11
13
2
11
12
1
,
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
(2.4)
Введем обозначения
.3,..,1,,, ==−= jгдеi
a
b
a
a
ii
i
i
ii
ij
ij
βα
(2.5)
Перепишем систему (2.4) с учетом введенных обозначений
x
1
=α
12
x
2
+α
13
x
3
+β
1
x
2
=α
21
x
1
+α
23
x
3
+β
2
(2.6)
x
3
=α
31
x
1
+α
32
x
2
+β
3
16
                            y


                           1

                                   1                2.45        x


                              Рисунок 15
     Система (2.1) называется плохо обусловленной                                   системой,     если
определитель системы det<1.


2.3 Метод итераций


      Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

                                a11x1+a12x2+a13x3=b1
                                a21x1+a22x2+a23x3=b2                                            (2.3)
                                a31x1+a32x2+a33x3=b3

     Предположим, что а11≠0, а22≠0, а33≠0.
     Преобразуем систему (3.1) к эквивалентному виду, выразив в каждом
уравнении неизвестные xi (i=1, 2, 3) стоящие на главной диагонали:

                                        a12     a        b
                                 x1 = −     x2 − 13 x3 + 1
                                        a11     a11     a11
                                        a21      a       b
                                 x2 = −     x1 − 23 x3 + 2 ,                                    (2.4)
                                        a22     a22      a22
                                        a       a        b
                                 x3 = − 31 x1 − 32 x2 + 3
                                        a33     a33     a33

     Введем обозначения

                                           aij            bi
                                α ij = −         , βi =       , гдеi, j = 1,..,3.                (2.5)
                                           aii            aii

      Перепишем систему (2.4) с учетом введенных обозначений

                                x1=α12x2+α13x3+β1
                                x2=α21x1+α23x3+β2                                                (2.6)
                                x3=α31x1+α32x2+β3
16

Страницы