Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Подставляем эти значения в правые части уравнений (2.11).
х
1
1
=-0,34*2+0.14*2+1.42=1.02,
х
2
1
=-0.02*1-0.4*2+2.2=1.42, (2.12)
х
3
1
=-0.29*1+0.04*2+2=2.21.
Пусть погрешность метода ε=0.01. Определим норму вектора разностей.
||x
(1)
-x
(0)
||=max
(2.13)
58.0
21.0
58.0
02.0
|221.2|
|242.1|
|102.1|
=
=
−
−
−
Определим одну из норм матрицы α, введя нулевые коэффициенты на
главной диагонали:
0 -0.34 0.14
α=-0.02 0 -0.4 , (2.14)
-0.29 0.04 0
.48.0
33.0
42.0
48.0
0|04.0||29.0|
|4.0|0|02.0|
|14.0||34.0|0
max|||| =
=
++−
−++−
+−+
=
m
α
(2.15)
С помощью (2.9) проверим условие окончания процесса итерации.
0.58
01.0
48.0
48.01
−
≤ (2.16)
Условие не выполняется, процесс итерации следует повторить.
Сходимость процесса итерации возможна только для определенного
класса систем уравнений.
Приведем без доказательства достаточное условие сходимости.
Если для эквивалентной системы (2.8) выполнено по крайней мере одно
из условий
1.
∑
=
=<
n
j
ij
ni
1
),...,2,1(,1||
α
2.
∑
=
=<
n
i
ij
nj
1
),...,2,1(,1||
α
т. е. одна из норм матрицы α меньше 1, то процесс итерации (2.9)
сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора
начального приближения.
18
     Подставляем эти значения в правые части уравнений (2.11).

                                                         х11=-0,34*2+0.14*2+1.42=1.02,
                                                         х21=-0.02*1-0.4*2+2.2=1.42,                   (2.12)
                                                         х31=-0.29*1+0.04*2+2=2.21.

     Пусть погрешность метода ε=0.01. Определим норму вектора разностей.

                                                        | 1.02 − 1 |   0.02 
                                            (1)    (0)                        
                                         ||x -x ||=max  | 1.42 − 2 |  =  0.58  = 0.58              (2.13)
                                                        | 2.21 − 2 |   0.21 
                                                                              

     Определим одну из норм матрицы α, введя нулевые коэффициенты на
главной диагонали:

                                                      0 -0.34 0.14
                                                  α=-0.02 0    -0.4 ,                                  (2.14)
                                                     -0.29 0.04 0

                                                        0+ | −0.34 | + | 0.14 |   0.48 
                                                                                        
                                         || α ||m = max | −0.02 | +0+ | −0.4 |  =  0.42  = 0.48.   (2.15)
                                                        | −0.29 | + | 0.04 | +0   0.33 
                                                                                        

     С помощью (2.9) проверим условие окончания процесса итерации.

                                                           1 − 0.48
                                                  0.58 ≤            0.01                               (2.16)
                                                             0.48

     Условие не выполняется, процесс итерации следует повторить.
     Сходимость процесса итерации возможна только для определенного
класса систем уравнений.

      Приведем без доказательства достаточное условие сходимости.
      Если для эквивалентной системы (2.8) выполнено по крайней мере одно
из условий
                 n
     1.          ∑| α
                 j =1
                         ij   |< 1, (i = 1,2,..., n)
           n
     2.   ∑| α
          i =1
                 ij   |< 1, ( j = 1,2,..., n)


     т. е. одна из норм матрицы α меньше 1, то процесс итерации (2.9)
сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора
начального приближения.
18

Страницы