Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. Для системы (2.3) метод итерации сходится, если выполнены
неравенства
|a
ij
|> . (2.17)
∑
≠
=
n
ji
ij
nia ),...,2,1(|,|
Т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения
системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.
Теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты
данной линейной системы.
Например.
x
1
-4x
2
+x
3
=3 1)
2x
1
+3x
2
-0.5x
3
=5 2)
-4x
1
+1.5x
2
-3.5x
3
=7 3)
Система не отвечает условиям теоремы сходимости: следствие теоремы
сходимости не выполняется. Однако, если detA≠0, то с помощью линейного
комбинирования уравнений системы последнюю можно привести к виду,
удобному для итераций.
Выполним следующие преобразования: в первом уравнении коэффициент
при х
2
по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов, примем
данное уравнение за второе уравнение системы. Первое уравнение получим,
суммируя первое и второе уравнения, третье получим суммируя все три
уравнения системы. В линейной комбинации должны участвовать все
уравнения исходной системы. Получим
3x
1
-x
2
+0.5x
3
=8 1)+2)
x
1
-4x
2
+x
3
=3
-x
1
+0.5x
2
-3x
3
=15 1)+2)+3)
Новая система отвечает условиям теоремы сходимости, следовательно,
можно применить метод итераций.
2.4 Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет модификацию метода итерации: при
вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже
вычисленные ранее (k+1) приближения х
1
, х
2
,…,х
i-1
, т. е. Система (2.8) будет
иметь вид
x
1
1
=α
12
x
2
0
+α
13
x
3
0
+β
1
,
x
2
1
=α
21
x
1
1
+α
23
x
3
0
+β
2
, (2.18)
x
3
1
=α
31
x
1
1
+α
32
x
2
1
+β
3
,
Решим систему методом Зейделя. Выберем начальные приближения
19
     Следствие. Для системы (2.3) метод итерации сходится, если выполнены
неравенства
                                  n
                          |aij|> ∑ | aij |, (i = 1,2,..., n) .        (2.17)
                                 i≠ j

     Т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения
системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.
     Теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты
данной линейной системы.
     Например.
     x1-4x2+x3=3        1)
     2x1+3x2-0.5x3=5    2)
     -4x1+1.5x2-3.5x3=7 3)
     Система не отвечает условиям теоремы сходимости: следствие теоремы
сходимости не выполняется. Однако, если detA≠0, то с помощью линейного
комбинирования уравнений системы последнюю можно привести к виду,
удобному для итераций.
     Выполним следующие преобразования: в первом уравнении коэффициент
при х2 по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов, примем
данное уравнение за второе уравнение системы. Первое уравнение получим,
суммируя первое и второе уравнения, третье получим суммируя все три
уравнения системы. В линейной комбинации должны участвовать все
уравнения исходной системы. Получим
     3x1-x2+0.5x3=8       1)+2)
     x1-4x2+x3=3
     -x1+0.5x2-3x3=15     1)+2)+3)
     Новая система отвечает условиям теоремы сходимости, следовательно,
можно применить метод итераций.



2.4 Метод Зейделя


     Метод Зейделя представляет модификацию метода итерации: при
вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже
вычисленные ранее (k+1) приближения х1, х2,…,хi-1, т. е. Система (2.8) будет
иметь вид

                           x11=α12x20+α13x30+β1,
                           x21=α21x11+α23x30+β2 ,                    (2.18)
                           x31=α31x11+α32x21+β3,

     Решим систему     методом Зейделя. Выберем начальные приближения
                                                                          19

Страницы