Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Систему (2.6) будем решать методом последовательных приближений.
Выбираем произвольно начальное приближение к решению системы
x
(0)
=(x
1
0
, x
2
0
, x
3
0
). (2.7)
Подставив в (2 .6) получим новое приближение x
(1)
:
x
1
1
=α
12
x
2
0
+α
13
x
3
0
+β
1
x
2
1
=α
21
x
1
0
+α
23
x
3
0
+β
2
(2.8)
x
3
1
=α
31
x
1
0
+α
32
x
2
0
+β
3
Этим заканчивается первая итерация. На втором шаге начальные
приближения х
1
0
, х
2
0
, х
3
0
заменяются на х
1
1
, х
2
1
, х
3
1
и процесс (2.8) повторяется
вновь для вычисления второго приближения х
(2)
=(х
1
2
, х
2
2
, х
3
2
) и т. д.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все x
i
(k+1)
не станут
достаточно близки к х
i
(k)
. Критерий близости между х
(k)
и x
(k+1)
приближениями
оцениваются по формуле
||x
(k+1)
-x
(k)
||
ε
α
α
||||
||||1
−
≤ (2.9)
где ||x
(k+1)
-x
(k)
||- норма вектора разностей;
||α||- одна из норм матрицы α системы (2.8);
ε – заданная погрешность.
Пример. Решить систему
3.5x
1
+1.2x
2
-0.5x
3
=5,
0.1x
1
+5x
2
+2x
3
=11, (2.10)
2x
1
-0.3x
2
+7x
3
=14.
Приведем систему к эквивалентному виду (2.6).
х
1
=-0.34х
2
+0.14х
3
+1.42,
х
2
=-0.02х
1
-0.4х
3
+2.2, (2.11)
х
3
=-0.29х
1
+0.04х
2
+2.
За начальное приближение корней системы (2.11) принимаем
произвольные значения: х
1
0
=1; х
2
0
=2; х
3
0
=2.
17
    Систему (2.6) будем решать методом последовательных приближений.
Выбираем произвольно начальное приближение к решению системы

                                  x(0)=(x10, x20, x30).                            (2.7)




     Подставив в (2 .6) получим новое приближение x(1):

                                  x11=α12x20+α13x30+β1
                                  x21=α21x10+α23x30+β2                             (2.8)
                                  x31=α31x10+α32x20+β3

     Этим заканчивается первая итерация. На втором шаге начальные
приближения х10, х20, х30 заменяются на х11, х21, х31 и процесс (2.8) повторяется
вновь для вычисления второго приближения х(2)=(х12, х22, х32) и т. д.
     Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все xi(k+1) не станут
достаточно близки к хi(k). Критерий близости между х(k) и x(k+1) приближениями
оцениваются по формуле

                                                      1− || α ||
                                  ||x(k+1)-x(k)|| ≤              ε                 (2.9)
                                                       || α ||

     где ||x(k+1)-x(k)||- норма вектора разностей;
     ||α||- одна из норм матрицы α системы (2.8);
     ε – заданная погрешность.
     Пример. Решить систему

                                  3.5x1+1.2x2-0.5x3=5,
                                  0.1x1+5x2+2x3=11,                               (2.10)
                                  2x1-0.3x2+7x3=14.


     Приведем систему к эквивалентному виду (2.6).

                                   х1=-0.34х2+0.14х3+1.42,
                                   х2=-0.02х1-0.4х3+2.2,                          (2.11)
                                   х3=-0.29х1+0.04х2+2.

     За начальное приближение корней                       системы   (2.11)   принимаем
произвольные значения: х10=1; х20=2; х30=2.
                                                                                     17

Страницы