Основы математического моделирования. Кудинов Ю.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

постоянные знаки. Зададим n-е приближение корня x
n
, тогда можно записать,
что
ξ=x
n
+ h
n
(1.11)
где h
n
- малая величина.
f(ξ)=0 или f(x
n
+h
n
)=0 (1.12)
Применяя формулу Тейлора, получим
f(x
n
+ h
n
)≈ f(x
n
)+ f'(x
n
)*h
n
=0 (1.13)
тогда
h
n
=-
)('
)(
n
n
xf
xf
(1.14)
Подставим (1.14) в (1.11), с учетом (1.13) получим
x
n+1
=x
n
-
)('
)(
n
n
xf
xf
(n=0, 1, 2,..) (1.15)
где x
n+1
- новое приближение корня.
Если f(x
n+1
)≤ ε, тогда x
n+1
- корень уравнения f(x)=0 с заданной степенью
точности ε.
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y= f(x)
касательной, проведенной в некоторой точке кривой в соответствии с рисунком
8.
y М
a x
n+1
x
n =
b x
Рисунок 8
Где x
n
-x
n+1
=h.. x
n+1
- точка пересечения касательной к т. М с осью Х.
При выборе начального приближения x
n
необходимо задавать x
n
в той
части отрезка [a, b], в которой выполняется условие
f(x
n
)*f"(x
n
)>0.
8
постоянные знаки. Зададим n-е приближение корня xn, тогда можно записать,
что

                                 ξ=xn+ hn                                      (1.11)

     где hn- малая величина.

                                 f(ξ)=0 или f(xn+hn)=0                         (1.12)

     Применяя формулу Тейлора, получим

                                 f(xn+ hn)≈ f(xn)+ f'(xn)*hn=0                  (1.13)

     тогда

                                        f ( xn )
                                 hn=-                                           (1.14)
                                        f ' ( xn )

    Подставим (1.14) в (1.11), с учетом (1.13) получим

                                               f ( xn )
                                 xn+1=xn-                 (n=0, 1, 2,..)        (1.15)
                                               f ' ( xn )

      где xn+1- новое приближение корня.
      Если f(xn+1)≤ ε, тогда xn+1- корень уравнения f(x)=0 с заданной степенью
точности ε.
      Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y= f(x)
касательной, проведенной в некоторой точке кривой в соответствии с рисунком
8.
                    y                             М



                          a                          xn+1 xn = b           x


                                    Рисунок 8

       Где xn-xn+1=h.. xn+1- точка пересечения касательной к т. М с осью Х.
       При выборе начального приближения xn необходимо задавать xn в той
части отрезка [a, b], в которой выполняется условие

                                  f(xn)*f"(xn)>0.

8

Страницы