Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

руемой и непрерывной на числовой прямой вместе со своими
производными до порядка n включительно?
8. Доказать, что для образа Фурье
b
f(y) функции f(x) =
1
1 + |x|
3
при y → ±∞ справедлива оценка
b
f(y) = o(y
−3
).
9. Каковы достаточные условия существования n производных на
всей числовой прямой у преобразования Фурье данной функ-
ции?
10. Доказать, что преобразование Фурье функции f(x) =
1
1 + x
4
дважды дифференцируемо н всей числовой прямой.
11. Доказать, что преобразование Фурье функции f(x) = x
2
e
−|x|
бесконечно дифференцируемо н всей числовой прямой.
12. Найти в явном виде образ Фурье характеристической функции
полуинтервала.
13. Как выражается производная образа Фурье функции f(x) через
образ Фурье произведения xf(x) в предположении абсолютной
интегрируемости и непрерывности этого произведения на чи-
словой оси?
ЛЕКЦИЯ 13. Обобщенные функции
1. Что называется пространством D основных функций?
2. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными
операциями в D?
3. Что называется обобщенной функцией над пространством
основных функций D?
4. Как определяется сходимость последовательности в простран-
стве D
0
обобщенных функций?
5. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными
операциями в D
0
?
6. Почему локально интегрируемые функции можно рассматри-
вать как обобщенные функции из пространства D
0
?
7. Чему равны lim
η→∞
sin ηt, lim
η→∞
sin ηt
t
в D
0
?
24
     руемой и непрерывной на числовой прямой вместе со своими
     производными до порядка n включительно?
                                                          1
  8. Доказать, что для образа Фурье fb(y) функции f (x) =   3
                                                          1 + |x|
     при y → ±∞ справедлива оценка fb(y) = o(y −3 ).
  9. Каковы достаточные условия существования n производных на
     всей числовой прямой у преобразования Фурье данной функ-
     ции?
                                                              1
 10. Доказать, что преобразование Фурье функции f (x) =
                                                           1 + x4
     дважды дифференцируемо н всей числовой прямой.
 11. Доказать, что преобразование Фурье функции f (x) = x2 e−|x|
     бесконечно дифференцируемо н всей числовой прямой.
 12. Найти в явном виде образ Фурье характеристической функции
     полуинтервала.
 13. Как выражается производная образа Фурье функции f (x) через
     образ Фурье произведения xf (x) в предположении абсолютной
     интегрируемости и непрерывности этого произведения на чи-
     словой оси?

ЛЕКЦИЯ 13. Обобщенные функции

  1. Что называется пространством D основных функций?
  2. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными
     операциями в D?
  3. Что называется обобщенной функцией над пространством
     основных функций D?
  4. Как определяется сходимость последовательности в простран-
     стве D0 обобщенных функций?
  5. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными
     операциями в D0 ?
  6. Почему локально интегрируемые функции можно рассматри-
     вать как обобщенные функции из пространства D0 ?
                                  sin ηt
  7. Чему равны lim sin ηt, lim      t
                                         в D0 ?
                η→∞        η→∞



                              24

Страницы