Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
2.3. Понятие конечного элемента
Аппроксимация функции
в виде (8) предполагает, что базисные
функции
m
N определены одним выражением для всей области
(
x
0 ), а интегралы (10) вычисляются сразу по всей области .
Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд непе-
рекрывающихся подобластей или элементов
e
(
ee
xxx
1
) и построе-
нии затем аппроксимации
ˆ
кусочным образом, т. е. отдельно на каждой
подобласти. Тогда используемые в процессе аппроксимации базисные
функции также могут быть определены кусочным образом с применением
различных выражений для разных подобластей
e
, из которых составлена
вся область. В таком случае входящие в аппроксимирующие уравнения
определенные интегралы могут быть получены простым суммированием
их вклада по каждому элементу:
 
0
1
0
1
E
e
x
x
ll
e
e
dxxRxWdxxRxW
, ( 12 )
при условии, что
E
e
e
1
. Здесь
E
– общее количество элементов.
В пределах каждого элемента базисные функции можно определять
простыми зависимостями (полиномами нулевого, первого, второго и т. д.
порядка), тем самым искомая функция кусочно аппроксимируется в пре-
делах каждого элемента. В этом состоит идея метода конечных элемен-
тов. Кусочное определение базисных функций означает, что аппроксими-
рующие функции или
их производные могут иметь разрывы на стыках
двух соседних элементов, что допустимо.
2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента
Рассмотрим использование метода конечных элементов для аппрок-
симации произвольной функции
x
на отрезке
x0. Разбиение
отрезка на
E
непересекающихся подотрезков
e
осуществляется про-
стым выбором подходящего множества точек
l
x
Ml ,...,1,0
при
0
0
x

Страницы