Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
и
M
x . В качестве элемента
e
берется отрезок
ee
xxx
1
. В данном
случае
M
E
.
Используя метод поточечной коллокации для аппроксимации задан-
ной функции

x , получим постоянные значения функции

x
ˆ
на каж-
дом элементе. Получаемая аппроксимация является разрывной со скачка-
ми в точках сопряжения элементов
l
x . В качестве точек коллокации выби-
раются средние точки элементов. Эти точки называются узлами. В конеч-
но-элементных процессах узлы и элементы нумеруются.
Функция

x
ˆ
может быть записана в стандартной форме (8) путем
сопоставления каждому узлу m кусочно-постоянной разрывной и одина-
ковой для всех элементов глобальной базисной функции
m
N , по определе-
нию принимающей единичное значение на элементе m и нулевое значе-
ние на всех других элементах
  
M
m
mm
xNxx
1
ˆ
, ( 13 )
где
mm
a – значение функции
в узле m .
Произвольная функция
x из (8) здесь опущена, и, следовательно,
эта аппроксимация не будет равна значению функции

x
в граничных
точках отрезка
0
0
x
,
M
x
. Однако в данном представлении эти значе-
ния приближаются сколь угодно точно при уменьшении длин элементов,
прилегающих к границам
0
0
x и
M
x .
На каждом элементе e глобальная аппроксимация (13) может быть
выражена через значения
e
в узле элемента и базисной функции
элемента
e
N

e
e
e
xN
ˆ
,

xxxxxN
ee
e
1
на элементе e , ( 14 )
где

xN
e
определена для элемента e и принимает на этом элементе еди-
ничное значение.
Рассмотрим случай аппроксимации функцией, линейно меняющейся
по длине каждого элемента. В этом случае (нумерованными) узлами яв-

Страницы