Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
ляются точки сопряжения элементов, и аппроксимация осуществляется
путем сопоставления каждому узлу
i кусочно-линейной глобальной ба-
зисной функции
xN
i
.
Эти глобальные базисные функции обладают тем свойством, что
i
N
отлично от нуля только на элементах, ассоциируемых с узлом
i , причем
1
i
N в узле i и равно нулю во всех других узлах. Можно заметить, что с
узлами некоторого элемента ассоциируются только те глобальные базис-
ные функции, которые на нем отличны от нуля.
Если в качестве точек коллокации взять узлы, то глобальную аппрок-
симацию можно записать в виде
  
M
m
mm
xNxx
1
ˆ
,
где
m
– значения

x
в узле m . Подстановка соответствующих значений
в узлах
0
0
x и
M
x гарантирует, что это представление автоматически
принимает нужные значения в двух граничных точках отрезка и явное ис-
пользование функции

x не требуется. На каждом элементе e с узлами
i и
j
аппроксимация выражается с помощью двух линейных базисных
функций элемента
e
i
N
,
e
j
N и узловых значений
i
,
j
по правилу
e
jj
e
ii
NN
ˆ
на элементе e , ( 15 )
где

ij
j
e
i
xx
xx
N
,


ij
i
e
j
xx
xx
N
.
Из этих двух примеров видно, что характерной особенностью метода
конечных элементов является нумерация узлов и элементов.
2.5. Формирование системы уравнений на примере решения задачи
Решим уравнение 0
2
2
dx
d
при 10
x
с краевыми условиями

00 и

11 . Разобьем отрезок на три элемента ( 3
E
) равной дли-
ны
311
321
Ehhhh . Количество узлов
равно четырем, коор-
динаты которых
iii
hxx
1
( 0
0
x , 31
1
x , 32
2
x , 1
3
x ).

Страницы