Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

5
1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных
Предположим, что решается одномерная краевая задача, т. е. требует-
ся определить функцию

x , удовлетворяющую заданному дифференци-
альному уравнению на отрезке
x
0 вместе с надлежащими краевыми
условиями при 0
x
и
x
.
Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего,
производится дискретизация независимой переменной
x
, т. е. строится
множество (сетка) 1
N
дискретных равноотстоящих точек
i
x
(
N
i ,...,2,1,0
) на отрезке
x
0
с 0
0
x ,
N
x и
Nxxx
ii
1
.
Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении
членов, содержащих дифференцирование, членами, в которых использу-
ются только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости
включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования
конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.
Пользуясь разложением по формуле Тейлора, можно записать

...
!2
1
!1
1
2
2
2
1
x
dx
d
x
dx
d
xxx
i
i
xx
xx
ii
,
используя нижний индекс i для значения функции в точке
i
xx , это со-
отношение можно переписать в виде
...
2
1
2
2
2
1
x
dx
d
x
dx
d
i
i
ii
, или ( 1 )

...
2
1
2
2
1
x
dx
d
xdx
d
i
ii
i
Это приведет к аппроксимации разностью вперед для первой произ-
водной функции

xdx
d
ii
i
1
. ( 2 )

Страницы