Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Аппроксимация базисными функциями
Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию

x на некотором отрезке
x0. В задачах, описываемых диффе-
ренциальными уравнениями, необходимо найти решение, удовлетворяю-
щее определенным краевым условиям. Построим аппроксимирующую
функцию, которая в точках
0
x
и
x
принимает те же значения, что и

x . Если найти некоторую функцию
x
, принимающую одинаковые с

x значения на концах отрезка, т. е.
00
и

, и ввести
систему линейно независимых
базисных функций
MmN
m
...,,1,0 , та-
ких, что

00
mm
NN для всех m , то на
можно предложить ап-
проксимацию для
:
   
xNaxxx
M
m
mm
0
ˆ
, ( 8 )
где

Mma
m
...,,1,0 — некоторые параметры, вычисляемые таким обра-
зом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции этого типа
иногда называют функциями
формы, или пробными функциями.
Способ определения
и системы базисных функций автоматически
обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свойством

00
и
 
для любых значений параметров
m
a
. Ясно, что система ба-
зисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантиро-
вать улучшение аппроксимации при возрастании числа
используемых
базисных функций.
Параметры
m
a
выбираются на основании требования, что аппрокси-
мация
ˆ
должна совпадать с функцией
в
различных произвольно
выбранных точках
. Это требование приводит к системе линейных
уравнений относительно набора параметров
Mma
m
...,,1,0
. Например,
можно выбрать такие наборы базисных функций на отрезке
x
0
:
 

xxN
m
m
1
1
;
xmN
m
1sin .

Страницы